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Empieza mirando, no calculando
Pausa la escena del punto y las crestas. Mueve el punto blanco: su coordenada horizontal selecciona una distancia r. Al reanudar, ese punto sube y baja y las crestas avanzan. El dibujo distingue la oscilación local y el desplazamiento de la fase. No describe la trayectoria real de una partícula de agua, que puede tener movimiento horizontal además de vertical.
De Pitágoras a una superficie
En un plano, la distancia al origen es r=√(x²+y²). Los puntos (3,4) y (0,5) tienen r=5: la función radial les asigna igual altura. Una superficie z=f(x,y,t) depende de dos coordenadas y del instante; si solo depende de r y t, tiene simetría radial. Usando x=r cos θ e y=r sen θ, variar θ recorre un anillo sin cambiar su altura.
Qué significa cada parámetro
A es la amplitud: el máximo desplazamiento respecto del equilibrio. k es el número de onda, en radianes por unidad de longitud. ω es la frecuencia angular, en radianes por unidad de tiempo. No son la misma frecuencia. La fase kr−ωt es adimensional. El simulador usa unidades de longitud arbitrarias; no está calibrado en metros. El color representa altura instantánea, no energía ni temperatura.
Longitud, periodo y velocidad de fase
Dos crestas vecinas difieren en fase 2π: kλ=2π. Un punto repite su estado después de T con ωT=2π. Para una misma cresta kr−ωt es constante; al derivar o comparar instantes, kΔr=ωΔt. Así λ=2π/k, T=2π/ω, f=1/T y v=ω/k=λf, si k y ω son constantes. Para ω=0 no hay oscilación y el periodo no es finito.
Ejemplo resuelto
Con k=1.4 y ω=2.1, λ≈4.488 unidades, T≈2.992 s y v=1.5 unidades/s. En 2 s una cresta avanza 3 unidades. El punto a r=3 mantiene esa distancia, pero su altura cambia como A sen(4.2−2.1t). Duplicar k manteniendo ω reduce λ y v a la mitad; T permanece igual.
Cuando k respira
El barrido automático modifica k(t). Ya no representa una onda viajera de forma fija. Para fase k(t)r−φ(t), con φ′(t)=ω(t), una cresta cumple r′=(ω−k′r)/k. El término k′r explica por qué los anillos lejanos se desplazan más. La fórmula v=ω/k no basta durante el barrido. Un ciclo visual perfecto exige que fase, k y cámara regresen juntos a su estado; repetir solo un parámetro no garantiza el bucle.
Investiga y aplica
Desactiva el barrido. Compara k=1 y k=2 con igual ω; predice antes de observar. Después fija k y cambia ω: compara el espaciado con la rapidez de oscilación. Estas ideas sirven para leer señales, entender vibraciones y estudiar frentes de onda. En un medio ideal no dispersivo ω=vk con v fija; el agua real puede ser dispersiva. Los controles independientes aíslan relaciones matemáticas, no mantienen necesariamente el mismo medio físico.
Límite del dibujo
El seno radial de amplitud constante es un modelo geométrico, no una solución exacta general de la ecuación de ondas bidimensional. En r=0 vale −A sen(ωt), no siempre cero. Además, la dependencia de √(x²+y²) no suele ser diferenciable allí cuando la derivada radial no es cero. El recurso avanzado explica por qué aparece Bessel.
Vuelve a los fundamentos
Pitágoras · Frecuencia y periodo · Polígonos y simetría
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un punto tiene coordenadas (6,8). Halla r.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Pitágoras: r²=100; r=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un punto tiene coordenadas (9,12). Halla r.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Pitágoras: r²=225; r=15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un punto tiene coordenadas (12,16). Halla r.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Pitágoras: r²=400; r=20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
ω=4, k=2 constantes. Halla v.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- v=ω/k=4/2=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
ω=6, k=2 constantes. Halla v.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- v=ω/k=6/2=3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
ω=8, k=2 constantes. Halla v.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- v=ω/k=8/2=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
λ=2 y f=3. Halla v.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- v=λf=3·2=6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
λ=3 y f=3. Halla v.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- v=λf=3·3=9.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
λ=4 y f=3. Halla v.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- v=λf=3·4=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Una cresta viaja a 2 unidades/s durante 5 s. ¿Cuánto avanza?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Δr=vΔt=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Una cresta viaja a 3 unidades/s durante 5 s. ¿Cuánto avanza?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Δr=vΔt=15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Una cresta viaja a 4 unidades/s durante 5 s. ¿Cuánto avanza?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Δr=vΔt=20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Se multiplica k por 2 manteniendo ω. ¿Qué cambia?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: λ y v se dividen entre 2; T no cambia
- Usa λ=2π/k, v=ω/k y T=2π/ω.
- Solo cambian las expresiones que contienen k.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Se multiplica k por 3 manteniendo ω. ¿Qué cambia?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: λ y v se dividen entre 3; T no cambia
- Usa λ=2π/k, v=ω/k y T=2π/ω.
- Solo cambian las expresiones que contienen k.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Se multiplica k por 4 manteniendo ω. ¿Qué cambia?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: λ y v se dividen entre 4; T no cambia
- Usa λ=2π/k, v=ω/k y T=2π/ω.
- Solo cambian las expresiones que contienen k.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.