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Qué se supone
Considera un medio homogéneo, isotrópico, lineal, sin pérdidas y no dispersivo en dos dimensiones, lejos de la fuente. Su campo escalar satisface u_tt=v²∇²u. Buscar u=Re[ψ e^(−iωt)] da ∇²ψ+k²ψ=0 con k=ω/v. La simetría radial reduce el laplaciano a ψ″+ψ′/r.
La ecuación radial
Con s=kr aparece la ecuación de Bessel de orden cero. J₀ es regular en el origen; Y₀ tiene singularidad logarítmica. Con la convención temporal e^(−iωt), H₀⁽¹⁾=J₀+iY₀ describe propagación radial saliente. La elección física exige además condiciones en la fuente y en los límites; no basta escoger una función por su aspecto.
Derivar el decaimiento
Sustituye ψ=φr^(−1/2). Se obtiene ψ′=φ′r^(−1/2)−φr^(−3/2)/2 y ψ″=φ″r^(−1/2)−φ′r^(−3/2)+3φr^(−5/2)/4. Al añadir ψ′/r se cancelan las primeras derivadas: φ″+(k²+1/(4r²))φ=0. Si kr≫1, la corrección es pequeña y φ es aproximadamente sinusoidal; ψ tiene envolvente proporcional a 1/√r.
Asintótica y origen
Para s positivo grande, J₀(s)≈√(2/(πs)) cos(s−π/4), Y₀(s)≈√(2/(πs)) sen(s−π/4). La parte real de H₀⁽¹⁾(kr)e^(−iωt) es aproximadamente √(2/(πkr)) cos(kr−ωt−π/4). Estas aproximaciones no valen cerca del origen. La fuente puntual ideal es singular; una fuente de tamaño finito requiere otro modelo local.
La energía da la misma intuición
Para propagación radial estacionaria y sin absorción en este modelo, la potencia atraviesa circunferencias de longitud 2πr. Con velocidad y medio fijos, intensidad proporcional a amplitud² implica amplitud²·r constante. En tres dimensiones la superficie es 4πr² y la amplitud cae como 1/r. Duplicar r reduce la amplitud 2D por √2 y la 3D por 2; no confundas amplitud con intensidad.
Qué hace la regularización del código
La función 1/√(1+0.18r) evita una amplitud infinita en r=0 y conserva la tendencia 1/√r lejos. Eso no demuestra que el campo satisfaga la ecuación diferencial ni elimina automáticamente el problema de diferenciabilidad espacial del seno radial. Además la malla 3D Canvas atenúa la altura cerca del borde para embellecer el recorte: esa ventana gráfica no representa una frontera física.
Un tambor y sus condiciones de contorno
En una membrana circular ideal fija en r=R, los modos axisimétricos regulares usan J₀(kr) y requieren J₀(kR)=0. Los primeros ceros son aproximadamente 2.405, 5.520 y 8.654. No todos los ceros de una misma curva son el borde: los interiores son anillos nodales. Los modos con dependencia angular usan otros órdenes de Bessel. Esta es una aplicación distinta de la onda saliente de una fuente puntual.
Fuentes para profundizar
NIST DLMF §10.2: ecuación y definiciones y §10.17: expansiones asintóticas. Las derivaciones anteriores explicitan las hipótesis y conectan esas funciones con el modelo del laboratorio.
Vuelve a los fundamentos
Pitágoras · Frecuencia y periodo · Polígonos y simetría
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
En el campo lejano 2D, el radio se multiplica por 4. ¿Por qué factor se divide la amplitud?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- √(4)=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
En el campo lejano 2D, el radio se multiplica por 9. ¿Por qué factor se divide la amplitud?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- √(9)=3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
En el campo lejano 2D, el radio se multiplica por 16. ¿Por qué factor se divide la amplitud?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- √(16)=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
En el campo lejano 3D, r se multiplica por 2. ¿Por qué factor se divide la amplitud?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- La ley es A proporcional a 1/r.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
En el campo lejano 3D, r se multiplica por 3. ¿Por qué factor se divide la amplitud?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- La ley es A proporcional a 1/r.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
En el campo lejano 3D, r se multiplica por 4. ¿Por qué factor se divide la amplitud?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- La ley es A proporcional a 1/r.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
La amplitud se divide por 2. ¿Por qué factor se divide la intensidad con medio fijo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
La amplitud se divide por 3. ¿Por qué factor se divide la intensidad con medio fijo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
La amplitud se divide por 4. ¿Por qué factor se divide la intensidad con medio fijo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Si v=6 y ω=12, halla k de Helmholtz.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- k=ω/v=12/6=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Si v=9 y ω=18, halla k de Helmholtz.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- k=ω/v=18/9=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Si v=12 y ω=24, halla k de Helmholtz.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- k=ω/v=24/12=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
El factor 1/√(1+2r) es finito en r=0. ¿Prueba que el seno radial es diferenciable allí?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Que la amplitud sea finita no impone derivada radial nula.
- La regularidad espacial y la ecuación diferencial requieren comprobaciones independientes.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
El factor 1/√(1+3r) es finito en r=0. ¿Prueba que el seno radial es diferenciable allí?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Que la amplitud sea finita no impone derivada radial nula.
- La regularidad espacial y la ecuación diferencial requieren comprobaciones independientes.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
El factor 1/√(1+4r) es finito en r=0. ¿Prueba que el seno radial es diferenciable allí?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Que la amplitud sea finita no impone derivada radial nula.
- La regularidad espacial y la ecuación diferencial requieren comprobaciones independientes.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.