Resuelve antes de consultar ayuda. Las respuestas numéricas se comprueban automáticamente; las expresiones, clasificaciones y justificaciones requieren comparar con la solución modelo. Una respuesta marcada como revisada no equivale a una evaluación automática de su corrección.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Dos rectas, una vertical y otra horizontal. Sistema: x = 5; y = 6. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Multiplica la primera ecuación por 0 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-6; y=6.
- Sustituye en x = 5: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,6). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 5 y 6, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Aprovecha que x tiene coeficiente 1. Sistema: x - 2y = -7; 3x + y = 21. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-7)y=-42; y=6.
- Sustituye en x - 2y = -7: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,6). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -7 y 21, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Elimina denominadores en la primera ecuación. Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 9/2; x - y = -1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (5/6)y=5; y=6.
- Sustituye en (1/2)x + (1/3)y = 9/2: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,6). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 9/2 y -1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Sistema: x + 2y = 5; 2x + 4y = 11. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Se mezclan 50 kg de soluciones al 10% (x kg) y al 30% (y kg), con concentración final de 20% en masa. Se conserva la masa total y la de soluto. Sistema: x + y = 50; (1/10)x + (3/10)y = 10. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 25
- Multiplica la primera ecuación por 1/10 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1/5)y=-5; y=25.
- Sustituye en x + y = 50: x=25.
- Solución completa: (x,y)=(25,25). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 50 y 10, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Sistema: x + y + z = 18; y + z = 13; z = 7. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- La tercera da z=7.
- La segunda da y=6.
- La primera da x=5.
- Sustituye la terna en las tres ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
No redondees las coordenadas. Sistema: 2x + y = 7; x - y = 1/2. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5/2
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (3)y=6; y=2.
- Sustituye en 2x + y = 7: x=5/2.
- Solución completa: (x,y)=(5/2,2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 7 y 1/2, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Usa múltiplos para eliminar una incógnita. Sistema: 2x + 3y = 19; 3x + 2y = 21. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=15; y=3.
- Sustituye en 2x + 3y = 19: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 19 y 21, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Los coeficientes 3/10, 1/5, 1/2 y −1/10 son decimales exactos. Sistema: (3/10)x + (1/5)y = 2; (1/2)x - (1/10)y = 9/4. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Multiplica la primera ecuación por 1/2 y la segunda por 3/10; resta para eliminar x.
- Queda (13/100)y=13/40; y=5/2.
- Sustituye en (3/10)x + (1/5)y = 2: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,5/2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 2 y 9/4, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Estudia x+y=5 y x+ty=5, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: (x,y)=(5,0). t=1: (x,y)=(5−s,s), s real.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=0.
- Si t≠1, divide: y=0/(t−1); luego x=5−y.
- Si t=1, queda 0=0; solo permanece x+y=5. Toma y=s libre.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rectángulo tiene perímetro 70 cm; su largo x supera al ancho y en 5 cm. Sistema: 2x + 2y = 70; x - y = 5. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (4)y=60; y=15.
- Sustituye en 2x + 2y = 70: x=20.
- Solución completa: (x,y)=(20,15). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 70 y 5, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Sistema: x + y + z = 15; 2x + 2y + 2z = 30; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- E₂−2E₁ es 0=0.
- De E₃, y=z+1. Toma z=t.
- E₁ da x=14−2t.
- La solución es (14−2t,t+1,t), con t real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Sistema: x + 2y = 5; 3x + 6y = 15. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Escoge un método y justifica por qué conserva todas las soluciones. Sistema: 5x + 6y = -10; 6x + 7y = -11. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 5; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=-5; y=-5.
- Sustituye en 5x + 6y = -10: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,-5). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -10 y -11, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 5; 3x + 2y = 31. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Vuelve al taller que necesites
Un par, dos condiciones: interpretar la solución
Relaciona pares ordenados, rectas verticales y conjuntos solución.
15 ejercicios · Explorador interactivoTaller 2 · Sistemas 2×2Sustitución, igualación y reducción: elegir con criterio
Reconoce estructuras que ahorran operaciones y explica la equivalencia.
15 ejercicios · Explorador interactivoTaller 3 · Sistemas 2×2Sistemas con fracciones y decimales
Transforma cada ecuación completa y verifica con aritmética exacta.
15 ejercicios · Explorador interactivoTaller 4 · Sistemas 2×2Clasificar antes de dividir: sistemas con parámetros
Distingue dependencia, contradicción y casos excepcionales.
15 ejercicios · Explorador interactivoTaller 5 · Sistemas 2×2Dos incógnitas, dos relaciones: modelar y validar
Plantea problemas de costos, mezclas, edades y geometría.
15 ejercicios · Explorador interactivoTaller 6 · Extensión 3×3Primer paso a tres incógnitas: eliminación ordenada
Extensión de preparatoria: resuelve y clasifica sistemas lineales 3×3.
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