EATRYL
Preparatoria

Diagnóstico: tres incógnitas y equivalencias

Quince situaciones para reconocer avances y decidir qué repasar.

Resuelve antes de consultar ayuda. En este bloque se revisan modelos, restricciones y procedimientos: compara tu respuesta con la solución modelo. Marcar una respuesta como revisada no equivale a una calificación automática.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Comprueba la terna (5, 6, 4) en las tres ecuaciones. Explica por qué no basta revisar solo una.

x+y+z=152x−y+z=8x+2y−z=13

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (5, 6, 4)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100501060014]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100501060014]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100501060014]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  7. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre −73.
  8. Reemplaza F1 por F1 menos (23) veces F3. Conserva las otras filas.
  9. Reemplaza F2 por F2 menos (13) veces F3. Conserva las otras filas.
  10. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  11. La terna es (5, 6, 4).
  12. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 15, 8, 13, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Clasifica el sistema. ¿La fila nula significa que cualquier terna es solución? Describe el conjunto completo.

x+y+z=52x+2y+2z=100=0

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas:(x,y,z)=(5−s−t,s,t), con s y t reales.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[111500000000]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  4. Queda una condición independiente y dos variables libres. La identidad no borra la ecuación que permanece.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

x, y y z son precios en MXN de cuaderno, lápiz y marcador. Tres compras contienen respectivamente (1,1,1), (2,1,0) y (0,1,3) artículos. Los totales son los de las ecuaciones. Interpreta cada fila y encuentra los precios.

x+y+z=542x+y=44y+3z=87

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Terna real: (13, 18, 23). Admisible en el contexto.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100130101800123]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -1.
  4. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  5. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
  7. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  9. La terna es (13, 18, 23).
  10. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 54, 44, 87, exactamente sus términos independientes.
  11. Define la unidad de cada variable y comprueba los tres totales. Las cantidades cumplen las restricciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 2

Resuelve por sustitución desde la última ecuación hacia la primera. Entrega una terna ordenada.

x+y+z=15y+2z=142z=8

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (5, 6, 4)

  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  3. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre 2.
  4. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
  5. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  6. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  7. La terna es (5, 6, 4).
  8. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 15, 14, 8, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 7

Decide si existe alguna solución. Identifica una contradicción obtenida mediante una operación reversible.

x+y+z=52x+2y+2z=11y−z=0

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Ninguna solución.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[102501−100001]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Intercambia F2 y F3.
  4. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  5. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  6. Restar dos veces la primera fila a la segunda exige 0=1; ninguna terna puede satisfacerlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

x, y y z cuentan cajas de 1, 2 y 3 kg. La primera fila fija el número de cajas, la segunda la masa total en kg y la tercera la diferencia entre cantidades de cajas de 2 y 3 kg. Halla las cantidades y revisa su dominio.

x+y+z=21x+2y+3z=44y−z=−1

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Terna real: (6, 7, 8). Admisible en el contexto.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100601070018]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  4. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  5. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -3.
  6. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
  7. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  9. La terna es (6, 7, 8).
  10. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 21, 44, -1, exactamente sus términos independientes.
  11. Define la unidad de cada variable y comprueba los tres totales. Las cantidades cumplen las restricciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 3

Resuelve por eliminación y comprueba la terna en el sistema original.

x+y+z=152x−y+z=8x+2y−z=13

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (5, 6, 4)

  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  7. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre −73.
  8. Reemplaza F1 por F1 menos (23) veces F3. Conserva las otras filas.
  9. Reemplaza F2 por F2 menos (13) veces F3. Conserva las otras filas.
  10. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  11. La terna es (5, 6, 4).
  12. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 15, 8, 13, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Encuentra todas las soluciones, usando z=t. Da dos ternas distintas que las ejemplifiquen.

x+y+z=5x−y+z=32x+2z=8

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas:(x,y,z)=(4−t,1,t), con t real.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[101401010000]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
  7. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  8. La segunda coordenada es 1 y x+z=4. Tomar t=0 y t=1 da dos ejemplos, pero la parametrización describe toda la recta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 13

Se mezclan x, y y z litros de soluciones al 10 %, 20 % y 30 % (por volumen, volúmenes aditivos). La segunda fila es el balance de soluto multiplicado por 100: su término independiente dividido entre 100 son litros de soluto. La tercera fija x−2z. Encuentra los volúmenes y calcula la concentración final.

x+y+z=1810x+20y+30z=370x−2z=−7

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Terna real: (5, 7, 6). Admisible en el contexto.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100501070016]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (10) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre 10.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F3 por F3 menos (-1) veces F2. Conserva las otras filas.
  7. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -1.
  8. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
  9. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  10. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  11. La terna es (5, 7, 6).
  12. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 18, 370, -7, exactamente sus términos independientes.
  13. Define la unidad de cada variable y comprueba los tres totales. Las cantidades cumplen las restricciones. La concentración es 1859%, un promedio ponderado por volúmenes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 4

El primer coeficiente de x es cero. Elige un pivote válido y resuelve con fracciones exactas.

y+z=4x−y+z=522x+y−z=5

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (52,2,2)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[1005201020012]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Intercambia F1 y F2.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F2. Conserva las otras filas.
  5. Reemplaza F3 por F3 menos (3) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -6.
  7. Reemplaza F1 por F1 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
  9. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  10. La terna es (52,2,2).
  11. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 4,52,5, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve y clasifica. Explica qué cambia frente a una tercera ecuación que fuera combinación de las dos primeras.

x+y+z=5x−y+z=32x+3z=10

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Única: (2, 1, 2).

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100201010012]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
  7. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  9. La terna es (2, 1, 2).
  10. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 5, 3, 10, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Las variables cuentan cajas de 1, 2 y 3 kg, con los totales y diferencia de cantidades indicados. Resuelve sobre los reales y decide si el resultado representa una distribución física de cajas.

x+y+z=10x+2y+3z=14y−z=7

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Terna real: (5, 6, -1). No hay solución admisible en el contexto.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[10050106001−1]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  4. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  5. Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -3.
  6. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
  7. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  9. La terna es (5, 6, -1).
  10. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 10, 14, 7, exactamente sus términos independientes.
  11. Define la unidad de cada variable y comprueba los tres totales. La terna real es única; por eso rechazarla por las restricciones demuestra que no hay otra distribución admisible.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 5

Resuelve sin redondear. Explica por qué restar un múltiplo de una ecuación debe aplicarse a ambos miembros.

x+y+z=115x+5y+6z=65x+2y−z=−3

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (-5, 6, 10)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[100−5010600110]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (5) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Intercambia F2 y F3.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F1 por F1 menos (3) veces F3. Conserva las otras filas.
  7. Reemplaza F2 por F2 menos (-2) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  9. La terna es (-5, 6, 10).
  10. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 11, 65, -3, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 10

Conserva las dos primeras ecuaciones y sustituye la tercera por 2x+az=8. Clasifica para todos los valores reales de a; la tercera fila mostrada corresponde al caso a=2.

x+y+z=5x−y+z=32x+2z=8

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Si a≠2: única (4,1,0). Si a=2: infinitas (4−t,1,t). Nunca es incompatible.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[101401010000]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  4. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
  5. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
  7. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  8. Al restar dos veces x+z=k−1 de la tercera relación queda (a−2)z=0. Separa a=2 antes de dividir. Si a≠2,z=0; si a=2,z es libre.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

x, y y z son cantidades de piezas en tres categorías. Las filas fijan tres recuentos ponderados. Determina si existe una terna de enteros no negativos, sin redondear soluciones fraccionarias.

x+y+z=92x+y=8y+3z=272

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Terna real:(52,3,72). No hay solución admisible en el contexto.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[10052010300172]
  1. Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
  2. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
  3. Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -1.
  4. Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  5. Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
  6. Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
  7. Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
  8. La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
  9. La terna es (52,3,72).
  10. Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 9,8,272, exactamente sus términos independientes.
  11. Define la unidad de cada variable y comprueba los tres totales. La terna real es única; por eso rechazarla por las restricciones demuestra que no hay otra distribución admisible.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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