Evaluación: sistemas, curvas y regiones

Respuesta modelo: Sí, satisface las dos ecuaciones.

1. En la circunferencia$,6^2+7^2=85$.
2. En la recta$,7=6+1$. Ambas igualdades son verdaderas: el par pertenece al sistema.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: El punto cumple ambas; comprobar solo una no basta.

1. En la primera$:36+49=85$.
2. En la segunda$,x-12=-6$; su cuadrado vuelve a ser 36.
3. El punto cumple las dos condiciones. Un punto de una circunferencia puede estar fuera de la otra.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: Pertenecen (6,0) y (0,0).

1. Los tres cumplen la condición del disco: los dos primeros están en la frontera y el origen en el interior.
2. La condición $x\ge 0$ elimina (−6,0).
3. La solución es una intersección: cada punto debe cumplir todas las desigualdades.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(-7, 6), (7, 6)}

1. Sustituye $y=6:x^2=85-36=49$.
2. Hay dos valores de x: −7 y 7. En ambos casos $y=6$.
3. Los pares son [(-7, 6), (7, 6)]. Sustituir cada uno recupera 85 y la ordenada exigida.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(6, -7), (6, 7)}

1. Resta la segunda ecuación de la primera. Los cuadrados comunes se cancelan$:24x-144=0$.
2. Por tanto $x=6$. Sustituye en la primera$:y^2=49$.
3. Los pares son [(6, -7), (6, 7)]. Los dos tienen la misma abscisa y ordenadas opuestas; ambos satisfacen el sistema.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $5\le x\le 6$; cuando $x=5,-\sqrt{11}\le y\le \sqrt{11}$.

1. El disco impone $-6\le x\le 6$. Intersecta con $x\ge 5$.
2. Fijando $x=5,$ queda $y^2\le 11=11$.
3. Por tanto las ordenadas están entre las dos raíces opuestas, incluidas. Los extremos en x no describen por sí solos toda la región: las cotas de y dependen de x.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(-12, -6), (6, 12)}

1. Sustituye $y=x+6$; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^2+6x-72=0$.
2. Factoriza $\left(x-6\right)\left(x+12\right)=0$. Las abscisas son 6 y −12.
3. Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-12, -6), (6, 12)].
4. Ambos satisfacen las dos ecuaciones; no mezcles las coordenadas de candidatos distintos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(6, -7), (6, 7)}

1. Al expandir el segundo cuadrado y restar, queda $36x-324=-108$.
2. Resuelve la ecuación lineal$:x=6$. La primera circunferencia da $y^2=49$.
3. Obtén los dos pares [(6, -7), (6, 7)]. Para comprobar la segunda, la distancia horizontal es −12; su cuadrado más 49 vale 193.
4. La resta sola no es equivalente al sistema: se conserva además una de las ecuaciones originales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: Con $\ge :\left\{\left(6,0\right)\right\}$. Con >: conjunto vacío.

1. En el disco necesariamente $x\le 6$. Junto con $x\ge 6$ queda $x=6$.
2. Al sustituir$:y^2\le 0,$ así que $y=0$.
3. Si se exige $x>6,$ no hay punto del disco que lo cumpla. Cambiar una frontera cerrada por una abierta puede eliminar toda la solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: Dos, una y ninguna, respectivamente. Tangencia en (6, 6).

1. Para una recta $x+y=c,$ sustituye $y=c-x$ y obtén $2x^2-2cx+c^2-72=0$.
2. El discriminante es $4\left(2·72-c^2\right)$. Es positivo para $c=0,$ cero para $c=12$ y negativo para $c=18$.
3. En el caso doble$,x=\frac{c}{2}=6ey=6$. La raíz doble representa un punto, no dos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: Primer caso: {(6, 0)}. Segundo: conjunto vacío.

1. Con separación 12, la resta fija $x=6$; después $y^2=36-36=0$. Hay un solo punto.
2. Con separación 13, la resta fija $x=\frac{13}{2}$. Su cuadrado supera 36, de modo que $y^2$ tendría que ser negativo.
3. Geométricamente, la primera separación es la suma de radios y la segunda la supera. No hay que interpretar una raíz negativa como una ordenada real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: Un cuarto de disco sin el arco; incluye los segmentos de los ejes con distancia al origen menor que el radio, incluido el origen.

1. Las dos desigualdades lineales seleccionan el primer cuadrante cerrado.
2. La desigualdad estricta elimina toda la circunferencia, incluidos (6,0) y (0,6).
3. Los puntos (t,0) y (0,t) con sí cumplen las tres condiciones. El origen está incluido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(6, 12)}

1. Sustituye $y=x+6$; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^2+6x-72=0$.
2. Factoriza $\left(x-6\right)\left(x+12\right)=0$. Las abscisas son 6 y −12.
3. Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-12, -6), (6, 12)].
4. Las restricciones eliminan (−12, −6). Solo (6, 12) pertenece al primer cuadrante abierto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: a) Toda la circunferencia de radio 6; infinitas soluciones. b) Ninguna solución.

1. En a), divide la segunda ecuación entre 2: coincide con la primera. La reducción da $0=0$.
2. La identidad no elimina la primera ecuación: el conjunto es su circunferencia, no todo el plano.
3. En b), la resta exige $36=49,$ contradicción. Circunferencias concéntricas de radios distintos no se cortan.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (7, 0)}

1. El disco y la cota inferior dejan solo $x=6$ o $x=7$.
2. Para $x=6,$ se exige $y^2\le 13$; conserva todos los enteros no negativos cuyo cuadrado no supere esa cantidad.
3. Para $x=7,$ solo $y=0$. La lista completa es [(6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (7, 0)].
4. La región continua contiene infinitos puntos, pero las restricciones enteras reducen la respuesta a esta lista finita.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.