Antes de empezar: Necesitas comparar razones y calcular tasas unitarias. Revisa que las magnitudes tengan unidades claras.
El mismo factor relaciona cada pareja
Si cada cuaderno cuesta $18 y no hay cargos, 1 cuesta $18, 2 cuestan $36 y 5 cuestan $90. En cada pareja, costo ÷ cuadernos = $18 por cuaderno.
La relación es directamente proporcional: al multiplicar la cantidad de cuadernos por un factor, el costo también se multiplica por ese mismo factor. La tasa unitaria k permanece constante y el modelo es .
La tabla hace visible la estructura
Una tabla puede mostrar , 1, 2, 3 y , 18, 36, 54. El cociente C/n es 18 para cada n distinto de cero. En el origen (0,0), no dividimos entre cero; revisamos que sin cuadernos no haya costo.
Compara pares consecutivos: si n aumenta de 1 a 2, C aumenta en 18, pero la proporcionalidad no se define solo por una diferencia constante. La tasa por cuaderno debe ser constante y el modelo debe pasar por el origen.
Gráfica y ecuación representan lo mismo
Al poner la entrada x en horizontal y la salida y en vertical, los puntos proporcionales quedan en una recta que pasa por (0,0). La pendiente es y/. Si la escala del dibujo es desigual o los ejes empiezan en valores distintos de cero, lee las marcas con cuidado.
La ecuación no significa «cualquier recta». Una recta tiene la misma tasa de cambio 18, pero comienza en 5; no es directamente proporcional.
No toda coincidencia de cocientes basta
Observa los pares (1,12), (2,24), (3,36): y/. Son compatibles con . Si añadimos (4,50), el cociente es 12.5; una tasa única ya no describe todos los datos exactamente.
Datos experimentales pueden variar por error de medición. Decide si la pregunta busca proporcionalidad exacta o un modelo aproximado y justifica el margen. No fuerces todos los datos dentro de una regla perfecta sin declarar la aproximación.
Ejemplo resuelto: escalar una mezcla
Una bebida requiere 240 mL de agua por cada 60 mL de concentrado. Para 180 mL de concentrado, el factor de escala es = 3; el agua es 240 × 3 = 720 mL. La razón agua:concentrado sigue siendo .
La mezcla completa contiene 900 mL si los volúmenes se pueden sumar como aproximación adecuada. Si hay contracción de volumen, espuma o un procedimiento especial, el modelo puede requerir ajuste.
Prueba el origen y el cociente
Un plan cobra $120 al mes más $2 por canción descargada. La ecuación es . Aunque la tasa marginal es $2/canción, C/n cambia con n y C no es cero cuando .
En cambio, un servicio sin tarifa base que cobra $2 por canción sigue y es directamente proporcional. Para clasificar, revisa la tasa constante entre las variables y el caso de entrada cero, no solo que «al aumentar una, aumenta la otra».
Práctica con apoyo
Prueba primero por tu cuenta. Pide una pista cuando la necesites; la práctica con apoyo también aporta información sobre qué conviene volver a estudiar.
Comprueba qué resuelves por tu cuenta
Intenta estas preguntas sin pistas. Después escribe qué relación y supuestos usaste.
Explícalo con tus palabras
Diseña una tabla con tres parejas que sí sean directamente proporcionales y una pareja que rompa la relación. Explica cómo los cocientes y el origen permiten detectarlo.
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Consultar una clase sobre este temaAmplía la práctica: ejercicios 10–15
La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
En y=cx, y=12 cuando x=2. Calcula y cuando x=4.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- La constante y/x=6; multiplica el nuevo x por ella.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
En y=cx, y=18 cuando x=3. Calcula y cuando x=5.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 30
- La constante y/x=6; multiplica el nuevo x por ella.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
En y=cx, y=24 cuando x=4. Calcula y cuando x=6.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- La constante y/x=6; multiplica el nuevo x por ella.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
¿La relación y=2x+1 es proporcionalidad directa?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Su gráfica no pasa por el origen; y/x cambia con x.
- Que una relación sea lineal no basta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
¿La relación y=3x+1 es proporcionalidad directa?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Su gráfica no pasa por el origen; y/x cambia con x.
- Que una relación sea lineal no basta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
¿La relación y=4x+1 es proporcionalidad directa?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Su gráfica no pasa por el origen; y/x cambia con x.
- Que una relación sea lineal no basta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.