EATRYL
Secundaria · Preparatoria

Potencias: signos, exponentes y condiciones

Justifica las leyes de los exponentes enteros y distingue productos, cocientes, sumas y paréntesis.

Antes de empezar: Multiplicación, fracciones, signos y propiedad distributiva.

Al terminar: Justifica las leyes de los exponentes enteros y distingue productos, cocientes, sumas y paréntesis.

Recupera las bases: Introducción a potencias y raíces · Potencias de monomios

La base completa determina el signo

Una potencia con exponente entero positivo es un producto de factores iguales. Los paréntesis indican qué expresión se repite. Una base negativa elevada a un exponente par produce un resultado positivo; con exponente impar, negativo. El signo menos que está fuera de la potencia se aplica después.

(−3)2=9−32=−9

Productos y potencias de potencias

Multiplicar potencias de una misma base reúne los factores y suma los exponentes. Elevar una potencia a otra potencia repite el grupo de factores y multiplica los exponentes. Para exponentes positivos estas reglas se justifican directamente contando factores. No son reglas para sumar potencias.

aman=am+n(am)n=amn

El cociente lleva al exponente cero

Al dividir potencias de la misma base distinta de cero, cancela factores comunes y resta exponentes. Cuando los exponentes coinciden, el cociente vale uno: esto justifica definir a0=1 para a≠0. No sustituimos a=0 en esta regla; en este bloque 0⁰ no se define.

aman=am−na≠0

Un exponente negativo expresa un recíproco

Para a≠0 y n entero positivo, a⁻ⁿ significa el recíproco de aⁿ. No significa cambiar el signo de la base ni del resultado. Con esta definición, las leyes se extienden a exponentes enteros siempre que las expresiones estén definidas. En cocientes, o cuando hay exponentes cero o negativos, conserva las restricciones necesarias.

a−n=1an

Distribuir sobre un producto no es distribuir sobre una suma

La potencia de un producto puede aplicarse a cada factor. Para exponentes enteros negativos, ambos factores deben ser distintos de cero. En un cociente, el denominador siempre debe ser no nulo y, si el exponente es negativo, también el numerador. En cambio, el cuadrado de una suma genera productos cruzados: ahí intervienen los productos notables.

(ab)n=anbn(a+b)2=a2+2ab+b2

Simplificar no amplía el dominio original

Si una expresión contiene x−1,x=0 queda excluido aunque al simplificar desaparezca ese exponente negativo. Una forma más corta debe acompañarse de las condiciones originales. Aprende la ley junto con sus hipótesis: usarlas por separado puede cambiar el problema.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Calcula exactamente. Explica por qué el exponente negativo no significa que el resultado sea negativo.

(12)−2

Respuesta: 4

  1. La base 12 es distinta de cero: puedes tomar su recíproco.
  2. Eleva al cuadrado 21.
  3. El resultado exacto es 4, positivo.
(12)−2=4

Ejemplo resuelto 2

Simplifica e indica las restricciones del dominio original. Trabaja con x e y reales.

1x4y−22x−1y3

Respuesta: (12)·x5y5, con x≠0ey≠0.

  1. La potencia negativa de x exige x distinto de cero, y la potencia negativa de y exige y distinto de cero.
  2. En el cociente, resta exponentes de la misma base: para x,4−(−1)=5; para y,−2−3=−5.
  3. El coeficiente es 12; pasa y⁻⁵ al denominador.
  4. Aunque la fórmula final admita x=0, ese valor no pertenecía a la expresión original.
1x52y5x≠0,y≠0

Ejemplo resuelto 3

Una persona afirma que elevar una suma al cuadrado equivale a sumar los cuadrados. Usa a=1 y b=2 para refutarlo y explica qué término falta.

(a+b)2a2+b2

Respuesta: El cuadrado de la suma vale 9; la suma de cuadrados vale 5. Falta 2ab=4.

  1. Desarrolla (a+b)(a+b) mediante la propiedad distributiva.
  2. Aparecen dos productos cruzados, ab y ba.
  3. La diferencia entre ambos resultados es 4, no cero. Un contraejemplo basta para refutar una regla universal.
(a+b)2=a2+2ab+b2

Error frecuente: Aplicar la suma de exponentes a una suma de potencias, o interpretar un exponente negativo como un signo menos.

Explorador: una escalera de exponentes

Predice el signo antes de mover el control. Baja el exponente una unidad: para una base no nula, el valor se divide entre la base. ¿Qué falla cuando la base es cero?

an−1=anaa≠0
Valores exactos alrededor del exponente elegido
ExponentePotencia

Investiga y explica

  1. Usa base −2 y compara exponentes pares e impares.
  2. Elige un exponente negativo: ¿qué cambia, el signo o el recíproco?
  3. Prueba base cero con exponentes positivo, cero y negativo.

Usa Tab para llegar a los controles y las flechas para cambiar sus valores. El resultado textual transmite la misma información esencial que la figura.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Calcula las dos expresiones y explica qué parte queda afectada por el exponente.

(−4)2−42(−3)2−32(−2)2−22

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 4 y −4, respectivamente.

(−2)2=4−22=−4
  1. En la primera expresión, la base completa es negativa y se multiplica por sí misma.
  2. En la segunda, la potencia se calcula antes de aplicar el signo menos.
  3. Los paréntesis cambian la base; no son decoración.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Calcula las dos expresiones y explica qué parte queda afectada por el exponente.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9 y −9, respectivamente.

(−3)2=9−32=−9
  1. En la primera expresión, la base completa es negativa y se multiplica por sí misma.
  2. En la segunda, la potencia se calcula antes de aplicar el signo menos.
  3. Los paréntesis cambian la base; no son decoración.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Calcula las dos expresiones y explica qué parte queda afectada por el exponente.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 16 y −16, respectivamente.

(−4)2=16−42=−16
  1. En la primera expresión, la base completa es negativa y se multiplica por sí misma.
  2. En la segunda, la potencia se calcula antes de aplicar el signo menos.
  3. Los paréntesis cambian la base; no son decoración.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Calcula exactamente. Explica por qué el exponente negativo no significa que el resultado sea negativo.

(45)−2(34)−2(23)−2

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 94

(23)−2=94
  1. La base 23 es distinta de cero: puedes tomar su recíproco.
  2. Eleva al cuadrado 32.
  3. El resultado exacto es 94, positivo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Calcula exactamente. Explica por qué el exponente negativo no significa que el resultado sea negativo.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 169

(34)−2=169
  1. La base 34 es distinta de cero: puedes tomar su recíproco.
  2. Eleva al cuadrado 43.
  3. El resultado exacto es 169, positivo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Calcula exactamente. Explica por qué el exponente negativo no significa que el resultado sea negativo.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2516

(45)−2=2516
  1. La base 45 es distinta de cero: puedes tomar su recíproco.
  2. Eleva al cuadrado 54.
  3. El resultado exacto es 2516, positivo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Simplifica e indica las restricciones del dominio original. Trabaja con x e y reales.

4x4y−25x−1y33x4y−24x−1y32x4y−23x−1y3

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (23)·x5y5, con x≠0ey≠0.

2x53y5x≠0,y≠0
  1. La potencia negativa de x exige x distinto de cero, y la potencia negativa de y exige y distinto de cero.
  2. En el cociente, resta exponentes de la misma base: para x,4−(−1)=5; para y,−2−3=−5.
  3. El coeficiente es 23; pasa y⁻⁵ al denominador.
  4. Aunque la fórmula final admita x=0, ese valor no pertenecía a la expresión original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Simplifica e indica las restricciones del dominio original. Trabaja con x e y reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (34)·x5y5, con x≠0ey≠0.

3x54y5x≠0,y≠0
  1. La potencia negativa de x exige x distinto de cero, y la potencia negativa de y exige y distinto de cero.
  2. En el cociente, resta exponentes de la misma base: para x,4−(−1)=5; para y,−2−3=−5.
  3. El coeficiente es 34; pasa y⁻⁵ al denominador.
  4. Aunque la fórmula final admita x=0, ese valor no pertenecía a la expresión original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Simplifica e indica las restricciones del dominio original. Trabaja con x e y reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (45)·x5y5, con x≠0ey≠0.

4x55y5x≠0,y≠0
  1. La potencia negativa de x exige x distinto de cero, y la potencia negativa de y exige y distinto de cero.
  2. En el cociente, resta exponentes de la misma base: para x,4−(−1)=5; para y,−2−3=−5.
  3. El coeficiente es 45; pasa y⁻⁵ al denominador.
  4. Aunque la fórmula final admita x=0, ese valor no pertenecía a la expresión original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Calcula sin expandir las potencias en números grandes. Decide qué ley puedes usar cuando hay una suma en el numerador.

104+104103103+103102102+102101

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 20

2·104103=2·10=202·103102=2·10=202·102101=2·10=20
  1. Primero extrae el factor común de la suma: hay dos veces la misma potencia.
  2. Ahora divide potencias de la misma base restando exponentes.
  3. Sumar potencias no equivale a sumar sus exponentes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Calcula sin expandir las potencias en números grandes. Decide qué ley puedes usar cuando hay una suma en el numerador.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 20

  1. Primero extrae el factor común de la suma: hay dos veces la misma potencia.
  2. Ahora divide potencias de la misma base restando exponentes.
  3. Sumar potencias no equivale a sumar sus exponentes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Calcula sin expandir las potencias en números grandes. Decide qué ley puedes usar cuando hay una suma en el numerador.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 20

  1. Primero extrae el factor común de la suma: hay dos veces la misma potencia.
  2. Ahora divide potencias de la misma base restando exponentes.
  3. Sumar potencias no equivale a sumar sus exponentes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Una persona afirma que elevar una suma al cuadrado equivale a sumar los cuadrados. Usa a=2 y b=3 para refutarlo y explica qué término falta.

(a+b)2a2+b2

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: El cuadrado de la suma vale 25; la suma de cuadrados vale 13. Falta 2ab=12.

(a+b)2=a2+2ab+b2
  1. Desarrolla (a+b)(a+b) mediante la propiedad distributiva.
  2. Aparecen dos productos cruzados, ab y ba.
  3. La diferencia entre ambos resultados es 12, no cero. Un contraejemplo basta para refutar una regla universal.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Una persona afirma que elevar una suma al cuadrado equivale a sumar los cuadrados. Usa a=3 y b=4 para refutarlo y explica qué término falta.

(a+b)2a2+b2

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: El cuadrado de la suma vale 49; la suma de cuadrados vale 25. Falta 2ab=24.

(a+b)2=a2+2ab+b2
  1. Desarrolla (a+b)(a+b) mediante la propiedad distributiva.
  2. Aparecen dos productos cruzados, ab y ba.
  3. La diferencia entre ambos resultados es 24, no cero. Un contraejemplo basta para refutar una regla universal.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Una persona afirma que elevar una suma al cuadrado equivale a sumar los cuadrados. Usa a=4 y b=5 para refutarlo y explica qué término falta.

(a+b)2a2+b2

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la operación, comprueba el dominio y conserva resultados exactos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: El cuadrado de la suma vale 81; la suma de cuadrados vale 41. Falta 2ab=40.

(a+b)2=a2+2ab+b2
  1. Desarrolla (a+b)(a+b) mediante la propiedad distributiva.
  2. Aparecen dos productos cruzados, ab y ba.
  3. La diferencia entre ambos resultados es 40, no cero. Un contraejemplo basta para refutar una regla universal.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Justifica por qué a0=1a partir de un cociente y explica exactamente en qué paso necesitas a≠0.

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Conceptos a mano

Factor

Cada expresión que se multiplica para formar un producto. En 3(x+2), los factores indicados son 3 y x+2; los sumandos no se cancelan como factores.

Denominador

Número o expresión situada debajo de la barra de una fracción. Debe ser distinto de cero.

Dominio

Conjunto de valores permitidos para las variables de una expresión, función o problema. Por ejemplo, un denominador no puede valer cero.