Potencias y productos de monomios

Aplicar leyes de exponentes con la misma base.
Multiplicar coeficientes y partes literales por separado.
Distribuir un monomio sobre un polinomio y respetar restricciones.

Antes de empezar: Potencias enteras, distributiva y productos con signo.

Multiplicar repite factores

$x^{2} \times x^{3} = x^{5}$ porque el producto reúne dos factores x y otros tres. Solo se suman exponentes al multiplicar potencias de la misma base. $x^{2} + x^{3}$ no se transforma en x⁵.

Al multiplicar $2 x^{2}$ por $3 x^{3}$ , los coeficientes dan 6 y las potencias dan x⁵: $(2 x^{2}) (3 x^{3}) = 6 x^{5}$ .

Potencia de una potencia y de un producto

En ${(x^{2})}^{3}$ , cada uno de los tres factores contiene dos x. Por eso ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$ . Los exponentes se multiplican, no se suman.

En ${(2 x)}^{3}$ la potencia afecta al 2 y a x: ${(2 x)}^{3} = 8 x^{3}$ . No es $2 x^{3}$ . Especifica la base completa con paréntesis.

Cocientes y restricciones

Para x distinto de cero, $\frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{3}$ . La cancelación elimina dos factores comunes, pero no autoriza x = 0 en la expresión original, donde el denominador sería cero.

Para base no nula, $x^{0} = 1$ y $x^{(- 2)} = \frac{1}{x^{2}}$ . Una potencia negativa indica recíproco, no un resultado necesariamente negativo. Las potencias negativas no forman términos de un polinomio en x.

Productos con varias variables

$2 x \times 3 y = 6 x y$ . No se suman exponentes de letras diferentes. En $(- 2 x^{2} y) (3 x y^{2})$ , el coeficiente es −6, las potencias de x suman 3 y las de y suman 3: $- 6 x^{3} y^{3}$ .

Revisa por separado signo, coeficiente y exponente de cada variable. Esta separación reduce errores cuando aparecen varios factores.

Monomio por polinomio

$2 x (x^{2} - 3 x + 4) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ . El factor 2x se distribuye a cada término; después se multiplican las potencias correspondientes.

Los grados pueden ayudar a estimar: un monomio de grado 1 por un término de grado 2 produce un término de grado 3. Pero los signos y coeficientes se deben calcular, no inferir solo por el grado.

No distribuir una potencia sobre una suma

${(x + 2)}^{2}$ significa $(x + 2) (x + 2)$ . No se puede convertir directamente en $x^{2} + 4$ . En x = 1, la primera expresión vale 9 y la segunda 5: ese contraejemplo basta para rechazar la regla incorrecta.

La siguiente lección desarrollará los productos de binomios para mostrar de dónde aparecen los términos cruzados. Las leyes de potencias tienen condiciones concretas; no se aplican a toda operación por semejanza visual.

Al multiplicar potencias de base x, se suman los exponentes: x²·x³=x⁵.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar y reducir, termina las operaciones; una forma equivalente aún agrupada se señalará como pendiente.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

Explícalo con tus palabras

Contrasta x² × x³, (x²)³ y x² + x³. Explica por qué cada operación exige una regla distinta.

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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Práctica a tu ritmo

Amplía la práctica: ejercicios 10–15

La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Simplifica (2x²)(3x³).

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6x⁵

Multiplica coeficientes; suma exponentes de la misma base.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Simplifica (3x²)(3x³).

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9x⁵

Multiplica coeficientes; suma exponentes de la misma base.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Simplifica (4x²)(3x³).

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 12x⁵

Multiplica coeficientes; suma exponentes de la misma base.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Evalúa la propuesta (x^2)²=x^4. ¿Multiplicar o sumar exponentes es la regla general?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x^2)²=x^4

En este caso ambos exponentes coinciden, pero la regla general es multiplicarlos, no sumarlos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Evalúa la propuesta (x^3)²=x^5. ¿Multiplicar o sumar exponentes es la regla general?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x^3)²=x^6

Una potencia de otra potencia multiplica exponentes; sumar corresponde al producto de potencias de la misma base.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Evalúa la propuesta (x^4)²=x^6. ¿Multiplicar o sumar exponentes es la regla general?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x^4)²=x^8

Una potencia de otra potencia multiplica exponentes; sumar corresponde al producto de potencias de la misma base.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.