Evaluación: denominadores, radicales y tramos

Respuesta modelo: {6}

1. Dominio$:x\ne 0$. El denominador común de la izquierda es 2x.
2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$. Multiplica la ecuación por $12x:18=3x$.
3. $x=6$; en la original$,\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {30}

1. Dominio$:x\ge -6$. Las dos raíces son iguales$:2\sqrt{x+6}=12$.
2. Divide entre 2 y cuadra$:x+6=36,$ luego $x=30$.
3. Comprueba: cada raíz vale 6, y la suma vale 12.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {0}

1. Buscas un punto a igual distancia de 6 y −6: su punto medio es 0.
2. Como ambos miembros son no negativos, también puedes igualar sus cuadrados.
3. ${\left(x-6\right)}^2={\left(x+6\right)}^2$ simplifica $a24x=0;x=0$ cumple.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {13}

1. Dominio$:x\ne 1$ y $x\ne -1$. Multiplica ambos miembros por (x−1)(x+1).
2. $6\left(x+1\right)=7\left(x-1\right)$. Distribuye todos los factores.
3. $6x+6=7x-7,$ luego $x=13$.
4. El candidato es admisible; ambos cocientes originales valen $\frac{1}{2}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {0}

1. Dominio$:x\ge 0$.
2. Aísla $\sqrt{x+36}=6+\sqrt{x}$; ambos miembros son no negativos.
3. Cuadra con el término cruzado$:x+36=36+x+12\sqrt{x}$. Por tanto $\sqrt{x}=0$.
4. $x=0$ es admisible y $\sqrt{36}-\sqrt{0}=6$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−7, 7}

1. Los puntos de cambio son −6 y 6. Entre ellos, la suma vale 12, menor que la cota.
2. A la izquierda$,-2x=14$ da $x=-7;a$ la derecha$,2x=14$ da $x=7$.
3. Los dos candidatos pertenecen a sus tramos. Compruébalos sustituyendo en las barras.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ℝ ∖ {−6, 6}

1. Dominio$:x\ne -6,6;x^2-36=\left(x-6\right)\left(x+6\right)$.
2. Con denominador común, la izquierda es $\frac{\left(x+6\right)-\left(x-6\right)}{x^2-36}$.
3. El numerador queda 12, idéntico al del otro miembro.
4. Es una identidad en su dominio: todos sus valores admisibles son soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {36}

1. Dominio$:x\ge 0$. Aísla $\sqrt{x+13}=13-\sqrt{x}$ y exige $\sqrt{x}\le 13$.
2. Al cuadrar$:x+13=169+x-26\sqrt{x},$ así que $\sqrt{x}=6$.
3. $x=36$; cumple la condición de signo.
4. En la original$:7+6=13$. No se descartan ni se agregan raíces.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: [−6, 6]

1. Para $-6\le x\le 6,$ la suma es $\left(6-x\right)+\left(x+6\right)=12$.
2. En ese tramo la ecuación es una identidad.
3. Fuera de él la suma es mayor que 12. Todos los puntos del intervalo cerrado son soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Dominio$:x\ne 6$. Resta las fracciones$:\frac{x-6}{x-6}=6$.
2. En el dominio, el cociente vale 1, así que la ecuación exigiría $1=6,$ una contradicción.
3. Al eliminar denominadores aparece el candidato $x=6,$ pero era un punto prohibido.
4. $S=\varnothing$. Una simplificación válida en el dominio permite reconocer la contradicción antes de resolver.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Dominio$:x\ge 0$.
2. Aísla $\sqrt{x+13}=13+\sqrt{x}$. Al cuadrar queda $26\sqrt{x}=-156$.
3. Esto exigiría $\sqrt{x}=-6,$ imposible para la raíz principal.
4. $S=\varnothing$. Si vuelves a cuadrar sin conservar el signo, crearás un candidato falso.
5. El candidato $x=36$ da $7-6=1,$ no 13.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: (−∞, −6]

1. Para $x\le -6,\left(6-x\right)-\left(-x-6\right)=12$: todo el rayo cumple.
2. En $-6\le x\le 6,$ la diferencia es −2x, que solo alcanza 12 en $x=-6$.
3. Para $x\ge 6,$ la diferencia es −12; no cumple. Une los resultados: (−∞, −6].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{6-6\sqrt{2},6+6\sqrt{2}\}$

1. Dominio$:x\ne -6,6$. La suma de la izquierda es $2\frac{x}{x^2-36}$.
2. Multiplica por $6\left(x^2-36\right)$ dentro del dominio$:12x=x^2-36$.
3. $x^2-12x-36=0$; la fórmula cuadrática da $x=6\pm 6\sqrt{2}$.
4. Ninguna raíz es $\pm 6$. Ambas satisfacen $x^2-36=12x$; por ello el cociente original vale $\frac{1}{6}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−14, 14}

1. Dominio conjunto$:-50\le x\le 50$.
2. Al cuadrar la suma$:100+2\sqrt{2500-x^2}=196,$ por tanto $\sqrt{2500-x^2}=48$.
3. La derecha es no negativa. Cuadra otra vez$:x^2=196,$ así que $x=\pm 14$.
4. Los dos valores pertenecen al dominio. Los radicandos son 36 y 64, intercambiados.
5. La suma original es $6+8=14$ en ambos casos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{-8,\frac{4}{3}\}$

1. Ambos miembros son no negativos: elevar al cuadrado conserva la equivalencia.
2. ${\left(x-6\right)}^2=4{\left(x+1\right)}^2$. Diferencia de cuadrados$:\left[\left(x-6\right)-2\left(x+1\right)\right]\left[\left(x-6\right)+2\left(x+1\right)\right]=0$.
3. Los factores son −x−8 y 3x+(-4). Se obtiene $x=-8$ o $x=\frac{4}{3}$.
4. Comprueba ambos en la original. No confundas 2|x+1| con |x+2|.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.