Antes de empezar: Proporciones, cuadrados y ecuaciones lineales.
Al terminar: Distingue factores lineales y de área y plantea ecuaciones con unidades.
Cada longitud cambia por el mismo factor
Al ampliar una figura por un factor k>0, todas sus longitudes se multiplican por k: lados, alturas, diagonales y perímetro. En un rectángulo, (kb)(kh)=k²bh. Por descomposición en triángulos, la misma regla de área vale para cualquier polígono semejante.
Volver desde el área
Si el área se multiplica por 9, el factor lineal es √9=3, siempre que las figuras sean semejantes. Sin semejanza no puedes deducir un factor único para las longitudes. Aumentar solo el ancho de un rectángulo no es una ampliación uniforme.
Una ecuación representa una condición
Si la base de un rectángulo es x+3 y su altura es 4, su área es 4(x+3). Para área 28, plantea 4(x+3)=28, despeja x=4 y verifica que las longitudes sean positivas. Si dos dimensiones contienen x puede aparecer una ecuación cuadrática; no toda ecuación de área es lineal.
Escala en un plano
Escala 1:100 significa que cada longitud real es 100 veces la del plano, usando la misma unidad. El área real es 10 000 veces el área del plano. Una habitación de 4 cm por 3 cm en el plano mide 4 m por 3 m en realidad y tiene 12 m²; no 1200 m².
Ejemplos resueltos
Ampliación
Una figura tiene P=18 cm y A=20 cm². Se amplía con k=3/2.
- P nuevo=18·3/2=27 cm.
- A nueva=20·9/4=45 cm².
- El incremento de área es 125%, distinto del aumento lineal de 50%.
Resolver y comprobar
Un triángulo tiene base x+2, altura 6 y área 24.
- 24=6(x+2)/2=3(x+2).
- x+2=8; x=6.
- Base 8 y altura 6 dan 24; las longitudes son positivas.
Error frecuente: Multiplicar el área por k en lugar de k², o deducir semejanza de la sola razón de áreas.
Una longitud cambia; el área cambia dos veces
Predice el resultado antes de mover un control. Después explica qué cambió y qué permaneció igual.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Una figura de perímetro 10 se amplía uniformemente por 2. Halla el nuevo perímetro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- P₂=kP₁=2·10=20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Una figura de perímetro 10 se amplía uniformemente por 3. Halla el nuevo perímetro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 30
- P₂=kP₁=3·10=30.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Una figura de perímetro 10 se amplía uniformemente por 4. Halla el nuevo perímetro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 40
- P₂=kP₁=4·10=40.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Una figura de área 6 se amplía uniformemente por 2. Halla el área nueva.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- A₂=k²A₁=6·2²=24.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Una figura de área 6 se amplía uniformemente por 3. Halla el área nueva.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 54
- A₂=k²A₁=6·3²=54.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Una figura de área 6 se amplía uniformemente por 4. Halla el área nueva.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 96
- A₂=k²A₁=6·4²=96.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Dos figuras semejantes tienen razón de áreas 4:1. Halla el factor de ampliación lineal.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- k=√4=2; la raíz positiva corresponde a longitudes.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Dos figuras semejantes tienen razón de áreas 9:1. Halla el factor de ampliación lineal.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- k=√9=3; la raíz positiva corresponde a longitudes.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Dos figuras semejantes tienen razón de áreas 16:1. Halla el factor de ampliación lineal.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- k=√16=4; la raíz positiva corresponde a longitudes.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un rectángulo tiene altura 3, base x+2 y área 12. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- 3(x+2)=12.
- x+2=4; x=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rectángulo tiene altura 3, base x+2 y área 15. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- 3(x+2)=15.
- x+2=5; x=3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un rectángulo tiene altura 3, base x+2 y área 18. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- 3(x+2)=18.
- x+2=6; x=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un rectángulo de ancho 2 y alto 4 duplica solo su ancho. ¿Por cuánto se multiplica el área?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Antes A=8; después A=16.
- Factor 2, no 4: no se duplicaron las dos dimensiones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un rectángulo de ancho 3 y alto 4 duplica solo su ancho. ¿Por cuánto se multiplica el área?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Antes A=12; después A=24.
- Factor 2, no 4: no se duplicaron las dos dimensiones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un rectángulo de ancho 4 y alto 4 duplica solo su ancho. ¿Por cuánto se multiplica el área?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Antes A=16; después A=32.
- Factor 2, no 4: no se duplicaron las dos dimensiones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Si una figura se reduce a la mitad en cada dirección, ¿por qué conserva un cuarto del área?
Ampliación: cómo la geometría cambia la intensidad de una onda →
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