Antes de empezar: Rectángulos, identidades algebraicas y cuadrados no negativos.
Al terminar: Explora y demuestra qué rectángulo aprovecha mejor un perímetro fijo.
Fijar el problema
Buscamos la mayor área entre rectángulos con perímetro P fijo y lados positivos. No estamos comparando todas las figuras del plano. Si un lado mide x, el otro mide P/2−x, con 0<x<P/2. Por tanto A=x(P/2−x).
Completar un cuadrado
Un cuadrado real es no negativo, así que restarlo nunca aumenta P²/16. El máximo se alcanza cuando x=P/4, que también es el valor del otro lado. Entre estos rectángulos, el cuadrado es el de mayor área. Esta demostración no necesita cálculo diferencial.
Equilibrar sin cambiar el contorno
Para lados m−d y m+d, el perímetro es 4m y el área m²−d². Al acercar los lados entre sí, disminuye d² y aumenta el área. Si las medidas solo pueden ser enteras, escoge los dos enteros positivos más cercanos cuya suma sea P/2, cuando esa suma sea entera.
Restricciones que cambian el resultado
Si un lado se apoya en una pared y solo se cercan otros tres, la ecuación ya no es 2x+2y=P: por ejemplo 2x+y=L. Entonces A=x(L−2x), cuyo máximo ocurre en x=L/4 e y=L/2. La región óptima ya no es un cuadrado. El modelo debe representar qué segmentos se pagan realmente.
Ejemplos resueltos
Veinticuatro metros de cerca
Compara rectángulos de perímetro 24 m.
- Los lados suman 12. Las parejas 2 y 10, 4 y 8, 6 y 6 dan áreas 20, 32 y 36.
- A=36−(x−6)²≤36.
- El máximo es 36 m² en el cuadrado de lado 6 m.
Solo tres lados
Hay 20 m de cerca y una pared recta que sirve de cuarto lado.
- 2x+y=20; y=20−2x.
- A=20x−2x²=50−2(x−5)².
- El máximo es 50 m² con lados 5 m y 10 m.
Error frecuente: Afirmar que el cuadrado es óptimo sin comprobar qué lados se incluyen en el perímetro y qué figuras se comparan.
Misma cerca, distintas superficies
Predice el resultado antes de mover un control. Después explica qué cambió y qué permaneció igual.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un rectángulo tiene perímetro 16. Si un lado mide 2, ¿cuánto mide el otro?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Los lados suman 8.
- Otro lado=8−2=6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un rectángulo tiene perímetro 24. Si un lado mide 3, ¿cuánto mide el otro?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- Los lados suman 12.
- Otro lado=12−3=9.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un rectángulo tiene perímetro 32. Si un lado mide 4, ¿cuánto mide el otro?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- Los lados suman 16.
- Otro lado=16−4=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Halla el área máxima entre rectángulos de perímetro 16.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- El cuadrado tiene lado 4.
- Área máxima=16.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Halla el área máxima entre rectángulos de perímetro 24.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- El cuadrado tiene lado 6.
- Área máxima=36.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Halla el área máxima entre rectángulos de perímetro 32.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 64
- El cuadrado tiene lado 8.
- Área máxima=64.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Los lados son 3 y 5. ¿Cuánto área se pierde frente al cuadrado de igual perímetro?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- (m−1)(m+1)=m²−1 con m=4.
- La pérdida es 1.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Los lados son 5 y 7. ¿Cuánto área se pierde frente al cuadrado de igual perímetro?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- (m−1)(m+1)=m²−1 con m=6.
- La pérdida es 1.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Los lados son 7 y 9. ¿Cuánto área se pierde frente al cuadrado de igual perímetro?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- (m−1)(m+1)=m²−1 con m=8.
- La pérdida es 1.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Con 16 m de cerca se cierran tres lados de un rectángulo junto a una pared. Halla el área máxima en m².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 32
- 2x+y=16.
- Óptimo x=4, y=8.
- A=32.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Con 24 m de cerca se cierran tres lados de un rectángulo junto a una pared. Halla el área máxima en m².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 72
- 2x+y=24.
- Óptimo x=6, y=12.
- A=72.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Con 32 m de cerca se cierran tres lados de un rectángulo junto a una pared. Halla el área máxima en m².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 128
- 2x+y=32.
- Óptimo x=8, y=16.
- A=128.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un rectángulo tiene lados enteros positivos que suman 5. Halla su área máxima.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Los enteros más cercanos son 2 y 3.
- Producto=6; separarlos más reduce el producto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un rectángulo tiene lados enteros positivos que suman 7. Halla su área máxima.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- Los enteros más cercanos son 3 y 4.
- Producto=12; separarlos más reduce el producto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un rectángulo tiene lados enteros positivos que suman 9. Halla su área máxima.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Los enteros más cercanos son 4 y 5.
- Producto=20; separarlos más reduce el producto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Qué hipótesis del primer problema deja de cumplirse cuando hay una pared?
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