Extensión opcional de la unidad 4.4.
Antes de empezar: Pitágoras, raíces, polígonos simples y coordenadas enteras.
Al terminar: Calcula áreas a partir de lados o de una retícula, indicando las condiciones de cada método.
Herón: tres lados bastan
Si a, b y c son longitudes positivas que satisfacen la desigualdad triangular estricta, define s=(a+b+c)/2, el semiperímetro. La fórmula de Herón es A=√(s(s−a)(s−b)(s−c)). Comprueba primero la existencia del triángulo. Una igualdad produce una figura degenerada de área cero, no un triángulo ordinario.
Una justificación algebraica
Toma c como base, baja la altura h desde el vértice opuesto y llama x a la proyección sobre la base medida desde el extremo del lado b. Las ecuaciones b²=x²+h² y a²=(c−x)²+h² dan x=(b²+c²−a²)/(2c). Como A=ch/2, resulta 16A²=4b²c²−(b²+c²−a²)². Factorizar produce (a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c), que es 16s(s−a)(s−b)(s−c).
El equilátero como caso particular
Su altura parte la base en dos: h²=l²−(l/2)²=3l²/4, por lo que h=l√3/2 y A=l²√3/4. Conserva la raíz para una respuesta exacta. Un decimal de √3 da solo una aproximación.
Pick: contar puntos, no celdas
Para un polígono simple sin agujeros, con todos sus vértices en una retícula cuadrada de coordenadas enteras y celda de área unidad, el teorema de Pick afirma A=I+B/2−1. I cuenta puntos estrictamente interiores; B cuenta puntos de la frontera, incluidos los vértices, una sola vez. Un lado inclinado también puede contener puntos de la retícula. En una celda de lado q, multiplica el resultado por q².
Alcance de Pick
No lo apliques directamente a curvas, polígonos cruzados, regiones con agujeros o vértices que no pertenecen a la retícula. Un segmento entre puntos enteros con diferencias Δx y Δy se divide en mcd(|Δx|,|Δy|) pasos de retícula. Sumar ese número en cada lado cerrado cuenta B sin duplicar vértices. La fórmula puede justificarse por triangulación en triángulos de retícula elementales y aditividad; aquí se usa como teorema, no se pretende que un ejemplo sea su demostración.
Ejemplos resueltos
Herón sin altura
Lados 13, 14 y 15 cm.
- 13+14>15, se puede construir. s=21.
- A=√(21·8·7·6)=√7056=84 cm².
- Con base 14, la altura recuperada es 12 cm.
Un rectángulo en retícula
Vértices (0,0), (4,0), (4,3), (0,3).
- I=3·2=6. B=4+3+4+3=14.
- Pick: A=6+14/2−1=12.
- Coincide con 4·3=12 unidades².
Error frecuente: Contar los vértices dos veces o confundir cuadrados interiores con puntos interiores.
Puntos interiores y puntos de frontera
Predice el resultado antes de mover un control. Después explica qué cambió y qué permaneció igual.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un triángulo tiene lados 6, 8, 10. Halla su semiperímetro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- s=(6+8+10)/2=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un triángulo tiene lados 9, 12, 15. Halla su semiperímetro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- s=(9+12+15)/2=18.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un triángulo tiene lados 12, 16, 20. Halla su semiperímetro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- s=(12+16+20)/2=24.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Halla el área del triángulo de lados 6, 8, 10.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- s=12.
- Herón: √[(12)(6)(4)(2)]=24.
- Coincide con catetos/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Halla el área del triángulo de lados 9, 12, 15.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 54
- s=18.
- Herón: √[(18)(9)(6)(3)]=54.
- Coincide con catetos/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Halla el área del triángulo de lados 12, 16, 20.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 96
- s=24.
- Herón: √[(24)(12)(8)(4)]=96.
- Coincide con catetos/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un equilátero tiene lado 4. Expresa su área exacta.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4√3
- A=l²√3/4=(4)²√3/4=4√3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un equilátero tiene lado 6. Expresa su área exacta.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9√3
- A=l²√3/4=(6)²√3/4=9√3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un equilátero tiene lado 8. Expresa su área exacta.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16√3
- A=l²√3/4=(8)²√3/4=16√3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un rectángulo de retícula de ancho 4 y altura 3 tiene I=6 y B=14. Halla A con Pick.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- A=I+B/2−1=6+7−1=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rectángulo de retícula de ancho 5 y altura 3 tiene I=8 y B=16. Halla A con Pick.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- A=I+B/2−1=8+8−1=15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un rectángulo de retícula de ancho 6 y altura 3 tiene I=10 y B=18. Halla A con Pick.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- A=I+B/2−1=10+9−1=18.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
En una retícula de celda 2×2 cm, un polígono simple tiene I=4 y B=8. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 28
- En celdas unidad: A=4+8/2−1=7.
- Cada celda mide 4 cm²: área=28 cm².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
En una retícula de celda 2×2 cm, un polígono simple tiene I=5 y B=8. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 32
- En celdas unidad: A=5+8/2−1=8.
- Cada celda mide 4 cm²: área=32 cm².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
En una retícula de celda 2×2 cm, un polígono simple tiene I=6 y B=8. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- En celdas unidad: A=6+8/2−1=9.
- Cada celda mide 4 cm²: área=36 cm².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Compara Pick con base por altura en un rectángulo de lados enteros cualesquiera.
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