Antes de empezar: Triángulos y polígonos regulares; perímetro.
Al terminar: Relaciona perímetro, apotema y área de polígonos regulares.
Del centro al lado
En un polígono regular convexo, une el centro con todos los vértices. Obtienes n triángulos congruentes. Su base es el lado l y su altura es la apotema a: el segmento perpendicular del centro al lado. El radio R llega a un vértice y es mayor que a. No intercambies radio y apotema.
Sumar las áreas
Cada triángulo tiene área la/2. Al sumar los n triángulos aparece A=nla/2=Pa/2, donde P=nl. La igualdad exige una distancia perpendicular común del centro a todos los lados; aquí la garantiza la regularidad. No asignas una “apotema” única a un polígono irregular cualquiera.
Datos que deben ser compatibles
Un cuadrado de lado 6 tiene apotema 3: no puedes elegir otra sin cambiar la figura. En general lado, número de lados, radio y apotema no son independientes. Si se conocen R y l en un polígono regular, Pitágoras da a²=R²−(l/2)². Con trigonometría, a=l/(2 tan(π/n)), relación que se profundiza en preparatoria.
Medir aproximadamente
Si P y a son aproximaciones medidas, el área calculada también es aproximada. Mantén varios dígitos intermedios y redondea al final según la precisión de los datos. En el modelo gráfico la apotema se obtiene de la geometría del polígono; no es un control independiente.
Ejemplos resueltos
Un cuadrado como cuatro triángulos
Lado 8 cm. Calcula el área con apotema.
- P=32 cm y a=4 cm.
- A=32·4/2=64 cm².
- Coincide con 8².
Un hexágono regular
Lado 2 cm. Expresa el área exacta.
- Cada triángulo central es equilátero de lado 2.
- Por Pitágoras, a=√(2²−1²)=√3 cm.
- P=12 cm; A=6√3 cm²≈10.39 cm².
Error frecuente: Sustituir el radio por la apotema o usar medidas incompatibles para una figura regular.
La apotema es la altura de cada triángulo
Predice el resultado antes de mover un control. Después explica qué cambió y qué permaneció igual.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un polígono regular de 5 lados tiene lado 2 cm. Halla P en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- P=nl=(5)2=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un polígono regular de 6 lados tiene lado 2 cm. Halla P en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- P=nl=(6)2=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un polígono regular de 7 lados tiene lado 2 cm. Halla P en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 14
- P=nl=(7)2=14.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Un cuadrado de lado 4 tiene apotema 2. Halla A con Pa/2.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- P=16.
- A=(16)(2)/2=16.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Un cuadrado de lado 6 tiene apotema 3. Halla A con Pa/2.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- P=24.
- A=(24)(3)/2=36.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Un cuadrado de lado 8 tiene apotema 4. Halla A con Pa/2.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 64
- P=32.
- A=(32)(4)/2=64.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un cuadrado tiene área 16 y perímetro 16. Halla su apotema.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- a=2A/P=2·16/16=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un cuadrado tiene área 36 y perímetro 24. Halla su apotema.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- a=2A/P=2·36/24=3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un cuadrado tiene área 64 y perímetro 32. Halla su apotema.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- a=2A/P=2·64/32=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un hexágono regular tiene lado 4. Expresa su área exacta.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24√3
- Apotema=2√3.
- Perímetro=24.
- A=(24)(2√3)/2=24√3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un hexágono regular tiene lado 6. Expresa su área exacta.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 54√3
- Apotema=3√3.
- Perímetro=36.
- A=(36)(3√3)/2=54√3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un hexágono regular tiene lado 8. Expresa su área exacta.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 96√3
- Apotema=4√3.
- Perímetro=48.
- A=(48)(4√3)/2=96√3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un alumno da a un cuadrado de lado 4 una apotema de 3. ¿Son compatibles?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La distancia del centro a cada lado es la mitad del lado: 2.
- 3 no puede ser su apotema.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un alumno da a un cuadrado de lado 6 una apotema de 4. ¿Son compatibles?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La distancia del centro a cada lado es la mitad del lado: 3.
- 4 no puede ser su apotema.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un alumno da a un cuadrado de lado 8 una apotema de 5. ¿Son compatibles?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La distancia del centro a cada lado es la mitad del lado: 4.
- 5 no puede ser su apotema.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Explica por qué Pa/2 funciona para el cuadrado sin memorizar una fórmula nueva.
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