Antes de empezar: Rectas paralelas, ángulos y ecuaciones sencillas.
- Justificar la suma interior mediante una paralela.
- Calcular un ángulo desconocido.
- Relacionar un ángulo exterior con los dos interiores no adyacentes.
Una línea paralela como argumento
Por un vértice A traza una recta paralela al lado opuesto BC. Los ángulos que forman AB y AC con esa paralela son iguales a los ángulos interiores en B y C por alternos internos. Los tres ángulos quedan juntos sobre una recta y suman 180°. Así se justifica A+B+C=180°.
Ángulo exterior
Un ángulo exterior se forma al prolongar un lado. Es suplementario del interior adyacente; por la suma interior, también es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Si el exterior mide x y los interiores remotos son B y C, entonces x=B+C.
Resolver y revisar
Si dos ángulos interiores miden 48° y 67°, el tercero es 180°−48°−67°=65°. Revisa que sea positivo y que las tres medidas sumen 180°. En una expresión con x, plantea primero la igualdad y luego comprueba el valor en el enunciado.
Ejemplos resueltos
Encontrar el ángulo restante
Dos ángulos interiores miden 42° y 73°. Encuentra el tercero.
- Escribe A+B+C=180°.
- C=180°−42°−73°=65°.
- Verifica: 42°+73°+65°=180°.
Usar el ángulo exterior
Los interiores no adyacentes a un exterior miden 35° y 82°. ¿Cuánto mide el exterior?
- El exterior es igual a la suma de los dos interiores remotos.
- 35°+82°=117°.
- El interior adyacente mide 180°−117°=63°.
Un error que conviene detectar: Restar de 360° aunque se pregunta por un ángulo interior. La suma interior es 180°.
Predice y explora
El dibujo es un modelo matemático con datos declarados. Escribe primero qué esperas encontrar; después cambia el caso y avanza los pasos. No midas longitudes en píxeles: usa las etiquetas, las marcas y las relaciones mostradas.
¿Qué propiedad esperas observar?
| Dato | Lectura |
|---|---|
| ∠A | 55° |
| ∠B | 65° |
| ∠C | 60° |
| Suma | 180° |
Paso del modelo: 3 de 7. Identifica los ángulos alternos internos.
- Dibuja el triángulo y nombra sus vértices.
- Traza por un vértice una paralela al lado opuesto.
- Identifica los ángulos alternos internos.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles progresivos. Las respuestas numéricas se comprueban con exactitud; las explicaciones abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Dos ángulos de un triángulo son 24° y 31°. Halla el tercero.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 125
- 180−(24)−(31)=125°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Dos ángulos de un triángulo son 26° y 34°. Halla el tercero.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 120
- 180−(26)−(34)=120°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Dos ángulos de un triángulo son 28° y 37°. Halla el tercero.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 115
- 180−(28)−(37)=115°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Un exterior mide 102° y uno de los interiores remotos 32°. Halla el otro remoto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 70
- El otro es 102−32=70°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Un exterior mide 103° y uno de los interiores remotos 33°. Halla el otro remoto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 70
- El otro es 103−33=70°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Un exterior mide 104° y uno de los interiores remotos 34°. Halla el otro remoto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 70
- El otro es 104−34=70°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Los ángulos son x, 4x y 6x. Halla x en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 180/11
- (1+2·2+3·2)x=180.
- x=180/11=180/11°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Los ángulos son x, 6x y 9x. Halla x en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 45/4
- (1+2·3+3·3)x=180.
- x=180/16=45/4°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Los ángulos son x, 8x y 12x. Halla x en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 60/7
- (1+2·4+3·4)x=180.
- x=180/21=60/7°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un exterior y su interior adyacente miden (3x+22)° y (2x+32)°. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 126/5
- Forman una recta: 3x+22+2x+32=180.
- 5x+54=180, así que x=126/5°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un exterior y su interior adyacente miden (3x+23)° y (2x+33)°. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 124/5
- Forman una recta: 3x+23+2x+33=180.
- 5x+56=180, así que x=124/5°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un exterior y su interior adyacente miden (3x+24)° y (2x+34)°. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 122/5
- Forman una recta: 3x+24+2x+34=180.
- 5x+58=180, así que x=122/5°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un exterior mide 82° y un interior remoto 37°. Encuentra el otro remoto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 45
- El exterior es la suma de los dos remotos: 82−37=45°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un exterior mide 83° y un interior remoto 38°. Encuentra el otro remoto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 45
- El exterior es la suma de los dos remotos: 83−38=45°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un exterior mide 84° y un interior remoto 39°. Encuentra el otro remoto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 45
- El exterior es la suma de los dos remotos: 84−39=45°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Cómo demuestra la paralela que los ángulos de la base aparecen junto al vértice en una recta?
Escribe la regla, sus condiciones y una comprobación que permita detectar un error.
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