Antes de empezar: Comparación de números y suma de segmentos.
- Aplicar la desigualdad triangular.
- Distinguir triángulo, caso degenerado e imposibilidad.
- Determinar el intervalo de longitudes posibles para el tercer lado.
La condición de existencia
Tres longitudes positivas a, b y c forman un triángulo no degenerado si cada lado es menor que la suma de los otros dos. Basta comprobar que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos: c
Intervalo para un lado
Fijados lados a y b, el tercero x debe cumplir |a−b|
Comprobar antes de dibujar
Con lados 4, 6 y 9, basta verificar 9<4+6; sí se puede. Con 4, 6 y 10, hay igualdad: es degenerado. Con 4, 6 y 11, 11>10: es imposible. Un dibujo rápido no sustituye la prueba de las longitudes.
Ejemplos resueltos
Ternas vecinas
Clasifica las ternas (4, 6, 9), (4, 6, 10) y (4, 6, 11).
- 9<4+6: sí forma un triángulo.
- 10=4+6: caso degenerado, sin área.
- 11>4+6: no puede construirse.
Intervalo del tercer lado
Dos lados miden 7 cm y 12 cm. ¿Qué longitudes enteras puede tener el tercero?
- |12−7|<x<12+7.
- 5<x<19.
- Las longitudes enteras posibles son 6, 7, …, 18 cm.
Un error que conviene detectar: Aceptar la igualdad como triángulo ordinario. La igualdad produce tres puntos alineados y área cero.
Predice y explora
El dibujo es un modelo matemático con datos declarados. Escribe primero qué esperas encontrar; después cambia el caso y avanza los pasos. No midas longitudes en píxeles: usa las etiquetas, las marcas y las relaciones mostradas.
¿Se pueden unir los tres lados para cerrar una figura con área positiva?
| Dato | Lectura |
|---|---|
| Dos lados | 5 y 6 |
| Lado mayor | 8 |
| Prueba | 8 < 11 |
| Conclusión | sí forma triángulo |
Paso del modelo: 3 de 7. Suma los otros dos lados.
- Ordena las tres longitudes.
- Toma como c el lado mayor.
- Suma los otros dos lados.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles progresivos. Las respuestas numéricas se comprueban con exactitud; las explicaciones abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
¿Forman triángulo los lados 4, 5, 8?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí
- El mayor es 8; la suma de los otros es 9.
- Se cumple la desigualdad estricta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
¿Forman triángulo los lados 5, 6, 10?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí
- El mayor es 10; la suma de los otros es 11.
- Se cumple la desigualdad estricta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
¿Forman triángulo los lados 6, 7, 12?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí
- El mayor es 12; la suma de los otros es 13.
- Se cumple la desigualdad estricta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Dos lados miden 5 y 8. Halla la suma máxima que no puede alcanzar el tercer lado.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 13
- La cota superior es 5+8=13; el tercer lado debe ser menor.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Dos lados miden 6 y 10. Halla la suma máxima que no puede alcanzar el tercer lado.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- La cota superior es 6+10=16; el tercer lado debe ser menor.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Dos lados miden 7 y 12. Halla la suma máxima que no puede alcanzar el tercer lado.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 19
- La cota superior es 7+12=19; el tercer lado debe ser menor.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Los lados son 4, 7 y 11. Clasifica el caso.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Degenerado
- 4+7=11.
- Hay igualdad, así que los puntos quedan alineados.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Los lados son 5, 9 y 14. Clasifica el caso.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Degenerado
- 5+9=14.
- Hay igualdad, así que los puntos quedan alineados.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Los lados son 6, 11 y 17. Clasifica el caso.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Degenerado
- 6+11=17.
- Hay igualdad, así que los puntos quedan alineados.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un lado mide 12 cm y los otros dos 4 y x cm. Para longitudes enteras, ¿cuál es el mínimo x posible?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- x+4>12; por tanto x>8.
- El mínimo entero es 9.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un lado mide 14 cm y los otros dos 5 y x cm. Para longitudes enteras, ¿cuál es el mínimo x posible?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- x+5>14; por tanto x>9.
- El mínimo entero es 10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un lado mide 16 cm y los otros dos 6 y x cm. Para longitudes enteras, ¿cuál es el mínimo x posible?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 11
- x+6>16; por tanto x>10.
- El mínimo entero es 11.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Con lados 3, 7 y 12, ¿puede cerrarse la figura?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El mayor 12 es mayor que 3+7=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Con lados 4, 9 y 15, ¿puede cerrarse la figura?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El mayor 15 es mayor que 4+9=13.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Con lados 5, 11 y 18, ¿puede cerrarse la figura?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El mayor 18 es mayor que 5+11=16.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Por qué el intervalo del tercer lado tiene dos desigualdades estrictas?
Escribe la regla, sus condiciones y una comprobación que permita detectar un error.
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