Antes de empezar: Puntos medios, perpendicularidad y bisectrices.
- Definir mediana, altura, bisectriz y mediatriz.
- Relacionar cada familia con su punto de concurrencia.
- Reconocer dónde puede quedar el ortocentro.
Cuatro construcciones distintas
La mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. La altura pasa por un vértice y es perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto. La bisectriz divide un ángulo interior en dos iguales. La mediatriz es perpendicular a un lado y pasa por su punto medio; no tiene que pasar por un vértice.
Los centros
Las tres medianas concurren en el baricentro, que divide cada mediana en razón 2:1 desde el vértice. Las tres bisectrices interiores concurren en el incentro, centro de la circunferencia inscrita. Las tres mediatrices concurren en el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita. Las alturas concurren en el ortocentro.
Ubicación según el triángulo
En un triángulo acutángulo, los cuatro puntos notables quedan dentro. En uno rectángulo, el ortocentro está en el vértice del ángulo recto y el circuncentro en el punto medio de la hipotenusa. En uno obtusángulo, el ortocentro y el circuncentro quedan fuera. No todos los centros son el mismo punto.
Ejemplos resueltos
Ubicar el circuncentro
Un triángulo rectángulo tiene vértices A=(0,0), B=(8,0), C=(0,6). ¿Dónde está su circuncentro?
- La hipotenusa es BC, de extremos (8,0) y (0,6).
- El circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
- M=((8+0)/2,(0+6)/2)=(4,3).
Elegir el nombre correcto
Una recta pasa por el vértice C y corta AB en su punto medio. ¿Qué recta notable es?
- Pasa por un vértice.
- El pie está en el punto medio del lado opuesto.
- Es una mediana; no se sabe que sea perpendicular ni que bisecte el ángulo.
Un error que conviene detectar: Llamar altura a cualquier recta interior. La altura debe formar 90° con el lado opuesto o su prolongación.
Predice y explora
El dibujo es un modelo matemático con datos declarados. Escribe primero qué esperas encontrar; después cambia el caso y avanza los pasos. No midas longitudes en píxeles: usa las etiquetas, las marcas y las relaciones mostradas.
¿Qué propiedad esperas observar?
| Dato | Lectura |
|---|---|
| Rectas | medianas |
| Punto común | baricentro G |
| Razón | 2:1 desde cada vértice |
Paso del modelo: 3 de 7. Traza medianas desde vértices opuestos.
- Dibuja un triángulo.
- Localiza puntos medios de sus lados.
- Traza medianas desde vértices opuestos.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles progresivos. Las respuestas numéricas se comprueban con exactitud; las explicaciones abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Una recta une un vértice con el punto medio del lado opuesto de 8 cm. ¿Cómo se llama?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Mediana
- Identifica el punto inicial y el punto medio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Una recta une un vértice con el punto medio del lado opuesto de 12 cm. ¿Cómo se llama?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Mediana
- Identifica el punto inicial y el punto medio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Una recta une un vértice con el punto medio del lado opuesto de 16 cm. ¿Cómo se llama?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Mediana
- Identifica el punto inicial y el punto medio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
La altura desde el vértice recto llega a una hipotenusa de 10 cm. ¿Qué ángulo forma con ella?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 90
- Una altura es perpendicular al lado opuesto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
La altura desde el vértice recto llega a una hipotenusa de 15 cm. ¿Qué ángulo forma con ella?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 90
- Una altura es perpendicular al lado opuesto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
La altura desde el vértice recto llega a una hipotenusa de 20 cm. ¿Qué ángulo forma con ella?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 90
- Una altura es perpendicular al lado opuesto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Una mediana mide 6 cm desde el vértice al baricentro. ¿Cuánto mide desde el baricentro al punto medio?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- El baricentro divide la mediana en razón 2:1 desde el vértice.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Una mediana mide 9 cm desde el vértice al baricentro. ¿Cuánto mide desde el baricentro al punto medio?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- El baricentro divide la mediana en razón 2:1 desde el vértice.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Una mediana mide 12 cm desde el vértice al baricentro. ¿Cuánto mide desde el baricentro al punto medio?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- El baricentro divide la mediana en razón 2:1 desde el vértice.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm. ¿A qué distancia está el circuncentro de cada vértice?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa; su radio es la mitad de esta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 15 cm. ¿A qué distancia está el circuncentro de cada vértice?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15/2
- El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa; su radio es la mitad de esta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 20 cm. ¿A qué distancia está el circuncentro de cada vértice?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa; su radio es la mitad de esta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
¿Puede la mediatriz de un lado de 6 cm no pasar por ningún vértice del triángulo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí
- La mediatriz pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a él; no está definida por un vértice.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
¿Puede la mediatriz de un lado de 9 cm no pasar por ningún vértice del triángulo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí
- La mediatriz pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a él; no está definida por un vértice.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
¿Puede la mediatriz de un lado de 12 cm no pasar por ningún vértice del triángulo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí
- La mediatriz pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a él; no está definida por un vértice.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿En qué se diferencia una mediana de una mediatriz aunque ambas usen un punto medio?
Escribe la regla, sus condiciones y una comprobación que permita detectar un error.
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