Antes de empezar: Comparación de lados, ángulos y transformaciones rígidas.
- Aplicar LLL, LAL y ALA como criterios de congruencia.
- Reconocer el caso rectángulo hipotenusa-cateto.
- Explicar por qué lado-lado-ángulo no es un criterio general.
Qué significa congruentes
Dos triángulos son congruentes si pueden superponerse mediante movimientos rígidos: traslaciones, giros o reflexiones. Conservan todas sus longitudes y ángulos. La notación ΔABC≅ΔDEF indica la correspondencia A↔D, B↔E y C↔F; el orden importa.
Criterios suficientes
LLL: los tres pares de lados correspondientes son iguales. LAL: dos lados y el ángulo comprendido son iguales. ALA: dos ángulos y el lado comprendido son iguales; el tercer ángulo queda determinado por la suma de 180°. En triángulos rectángulos también vale hipotenusa-cateto.
Datos que no bastan
Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA o SSA) pueden producir dos triángulos distintos, uno o ninguno. No concluyas congruencia solo porque tres datos coinciden si el ángulo no está entre los dos lados. Dibuja las posibilidades o verifica un criterio válido.
Ejemplos resueltos
Aplicar LAL
En ΔABC, AB=7, AC=9 y ∠A=40°. En ΔDEF, DE=7, DF=9 y ∠D=40°. ¿Qué criterio aplica?
- Los lados AB y AC corresponden a DE y DF.
- El ángulo dado está comprendido entre esos dos lados.
- Los triángulos son congruentes por LAL.
Ordenar la correspondencia
ΔABC≅ΔPQR, AB=6 y ∠C=52°. Encuentra PQ y ∠R.
- El orden da A↔P, B↔Q y C↔R.
- AB corresponde a PQ, así que PQ=6.
- ∠C corresponde a ∠R, por lo que ∠R=52°.
Un error que conviene detectar: Aplicar LAL cuando el ángulo dado no está entre los dos lados. Verifica la correspondencia y la posición del ángulo.
Predice y explora
El dibujo es un modelo matemático con datos declarados. Escribe primero qué esperas encontrar; después cambia el caso y avanza los pasos. No midas longitudes en píxeles: usa las etiquetas, las marcas y las relaciones mostradas.
¿Qué propiedad esperas observar?
| Dato | Lectura |
|---|---|
| Datos | LLL: tres lados iguales |
| Conclusión | Congruentes |
| Correspondencia | conservar el orden de vértices |
Paso del modelo: 3 de 7. Señala los lados o ángulos que son datos.
- Dibuja y etiqueta dos triángulos.
- Identifica las parejas correspondientes.
- Señala los lados o ángulos que son datos.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles progresivos. Las respuestas numéricas se comprueban con exactitud; las explicaciones abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Dos triángulos tienen lados correspondientes 4, 5 y 6 cm. ¿Qué criterio basta?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: LLL
- Los tres lados determinan un triángulo único salvo movimientos rígidos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Dos triángulos tienen lados correspondientes 5, 7 y 9 cm. ¿Qué criterio basta?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: LLL
- Los tres lados determinan un triángulo único salvo movimientos rígidos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Dos triángulos tienen lados correspondientes 6, 9 y 12 cm. ¿Qué criterio basta?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: LLL
- Los tres lados determinan un triángulo único salvo movimientos rígidos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Dos lados correspondientes miden 4 y 6 cm, y el ángulo comprendido es igual. ¿Qué criterio aplica?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: LAL
- El ángulo está entre los dos lados conocidos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Dos lados correspondientes miden 5 y 7 cm, y el ángulo comprendido es igual. ¿Qué criterio aplica?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: LAL
- El ángulo está entre los dos lados conocidos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Dos lados correspondientes miden 6 y 8 cm, y el ángulo comprendido es igual. ¿Qué criterio aplica?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: LAL
- El ángulo está entre los dos lados conocidos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Dos triángulos congruentes tienen lados correspondientes 6 cm y 5 cm. ¿Cuál es la diferencia entre sus perímetros?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 0
- La congruencia conserva todos los lados; los perímetros son iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Dos triángulos congruentes tienen lados correspondientes 9 cm y 7 cm. ¿Cuál es la diferencia entre sus perímetros?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 0
- La congruencia conserva todos los lados; los perímetros son iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Dos triángulos congruentes tienen lados correspondientes 12 cm y 9 cm. ¿Cuál es la diferencia entre sus perímetros?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 0
- La congruencia conserva todos los lados; los perímetros son iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Dos lados miden 5 y 8 cm, con un ángulo opuesto no comprendido igual en ambos. ¿Basta siempre para congruencia?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El caso LLA puede ser ambiguo y generar dos triángulos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Dos lados miden 6 y 10 cm, con un ángulo opuesto no comprendido igual en ambos. ¿Basta siempre para congruencia?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El caso LLA puede ser ambiguo y generar dos triángulos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Dos lados miden 7 y 12 cm, con un ángulo opuesto no comprendido igual en ambos. ¿Basta siempre para congruencia?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El caso LLA puede ser ambiguo y generar dos triángulos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
En dos triángulos congruentes, un lado correspondiente mide 11 cm y otro 5 cm. ¿Cuánto debe medir su lado homólogo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 11
- Lados correspondientes de figuras congruentes tienen la misma longitud.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
En dos triángulos congruentes, un lado correspondiente mide 15 cm y otro 7 cm. ¿Cuánto debe medir su lado homólogo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Lados correspondientes de figuras congruentes tienen la misma longitud.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
En dos triángulos congruentes, un lado correspondiente mide 19 cm y otro 9 cm. ¿Cuánto debe medir su lado homólogo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 19
- Lados correspondientes de figuras congruentes tienen la misma longitud.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Qué información geométrica adicional aporta el ángulo comprendido en LAL?
Escribe la regla, sus condiciones y una comprobación que permita detectar un error.
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