Antes de empezar: Proporciones y ecuaciones lineales.
- Distinguir semejanza de congruencia.
- Aplicar AA, LAL proporcional y LLL proporcional.
- Mantener el mismo orden de correspondencia al calcular.
Forma y escala
Triángulos semejantes tienen ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales. La razón k entre lados homólogos es el factor de escala. Si k>1 hay ampliación; si 0
Criterios de semejanza
AA basta: si dos ángulos correspondientes son iguales, el tercero también lo es y los triángulos tienen la misma forma. También puede verificarse que dos pares de lados tengan la misma razón y el ángulo comprendido sea igual (LAL proporcional), o que los tres pares de lados sean proporcionales (LLL proporcional).
Resolver proporciones
Si 6 cm corresponde a 9 cm, el factor de la primera figura a la segunda es 9/6=1.5. Un lado de 8 cm en la primera corresponde a 12 cm en la segunda. Escribe siempre qué lado corresponde a cuál; mezclar el orden de las razones altera la respuesta.
Ejemplos resueltos
Calcular una escala
Un triángulo de lados 4, 6 y 8 cm se amplía con razón 1.5. ¿Cuáles son los nuevos lados?
- Multiplica cada longitud por el mismo factor.
- 4·1.5=6, 6·1.5=9 y 8·1.5=12.
- Las razones de todos los pares correspondientes son 1.5.
Encontrar un lado homólogo
En dos triángulos semejantes, 5 cm corresponde a 8 cm y 7 cm corresponde a x.
- La razón es 8/5.
- x/7=8/5.
- x=56/5=11.2 cm.
Un error que conviene detectar: Invertir solo una de las razones. Escribe las parejas correspondientes en el mismo orden antes de resolver.
Predice y explora
El dibujo es un modelo matemático con datos declarados. Escribe primero qué esperas encontrar; después cambia el caso y avanza los pasos. No midas longitudes en píxeles: usa las etiquetas, las marcas y las relaciones mostradas.
¿Qué propiedad esperas observar?
| Dato | Lectura |
|---|---|
| Forma | ángulos correspondientes iguales |
| Escala | 1.5 |
| Lados | razones correspondientes constantes |
Paso del modelo: 3 de 7. Calcula el factor de escala.
- Identifica los vértices que corresponden.
- Compara dos lados homólogos.
- Calcula el factor de escala.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles progresivos. Las respuestas numéricas se comprueban con exactitud; las explicaciones abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Una figura se amplía por factor 2. Un lado de 4 cm pasa a medir cuántos centímetros?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- Multiplica la longitud por el factor: 2·(4)=8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Una figura se amplía por factor 3. Un lado de 5 cm pasa a medir cuántos centímetros?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Multiplica la longitud por el factor: 3·(5)=15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Una figura se amplía por factor 4. Un lado de 6 cm pasa a medir cuántos centímetros?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- Multiplica la longitud por el factor: 4·(6)=24.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
En triángulos semejantes, 4 cm corresponde a 4 cm. ¿Cuál es la razón de escala?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- La razón es 4/4=1.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
En triángulos semejantes, 4 cm corresponde a 6 cm. ¿Cuál es la razón de escala?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3/2
- La razón es 6/4=3/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
En triángulos semejantes, 4 cm corresponde a 8 cm. ¿Cuál es la razón de escala?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- La razón es 8/4=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
4 cm corresponde a 6 cm. En la misma semejanza, 8 cm corresponde a x. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- x/8=6/4=3/2.
- x=12 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
6 cm corresponde a 9 cm. En la misma semejanza, 12 cm corresponde a x. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- x/12=9/6=3/2.
- x=18 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
8 cm corresponde a 12 cm. En la misma semejanza, 16 cm corresponde a x. Halla x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- x/16=12/8=3/2.
- x=24 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
El perímetro de un triángulo pequeño es 12 cm y el factor de ampliación es 3/2. ¿Cuál es el perímetro ampliado?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- El perímetro escala por el mismo factor: 12·3/2=18 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
El perímetro de un triángulo pequeño es 18 cm y el factor de ampliación es 3/2. ¿Cuál es el perímetro ampliado?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 27
- El perímetro escala por el mismo factor: 18·3/2=27 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
El perímetro de un triángulo pequeño es 24 cm y el factor de ampliación es 3/2. ¿Cuál es el perímetro ampliado?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- El perímetro escala por el mismo factor: 24·3/2=36 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Dos ángulos correspondientes son 32° y 62° en ambos triángulos. ¿Qué puedes concluir sobre la forma?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Son semejantes por AA
- El tercer ángulo también coincide porque la suma interior es 180°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Dos ángulos correspondientes son 33° y 63° en ambos triángulos. ¿Qué puedes concluir sobre la forma?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Son semejantes por AA
- El tercer ángulo también coincide porque la suma interior es 180°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Dos ángulos correspondientes son 34° y 64° en ambos triángulos. ¿Qué puedes concluir sobre la forma?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Son semejantes por AA
- El tercer ángulo también coincide porque la suma interior es 180°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Si duplicas todas las longitudes de un triángulo, ¿qué ocurre con su perímetro y con su área?
Escribe la regla, sus condiciones y una comprobación que permita detectar un error.
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