Antes de empezar: Fracciones y potencias con exponente natural.
- Reconocer multiplicación reiterada por una razón.
- Aplicar aₙ=a₁rⁿ⁻¹.
- Interpretar decrecimiento y razones negativas.
El cociente constante
En 3,6,12,24 cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2. La razón es r=2. Cuando el término anterior es distinto de cero, puedes calcularla dividiendo. Para evitar divisiones indefinidas, piensa primero en la regla «multiplicar por r». En esta unidad los ejemplos que usan cocientes tienen términos no nulos.
Una fórmula para cualquier posición
La regla explícita es . El exponente cuenta las multiplicaciones entre la primera posición y la posición n. Si 0
Comparar modelos de crecimiento
Sumar 5 en cada etapa y multiplicar por 2 son reglas distintas. Aunque coincidan en algunas posiciones, pueden separarse después. Antes de extrapolar comprueba la regla y el contexto: una población real no necesariamente mantiene indefinidamente un factor fijo.
Ejemplos resueltos
Doblar una cantidad
Una secuencia comienza con 5 piezas y cada etapa duplica la anterior. Encuentra a₆.
- a₁=5, r=2.
- a₆=5·2⁵=160.
- El exponente es 5 porque la primera etapa ya cuenta las 5 piezas iniciales.
Reducir a la mitad
Una cinta de 64 cm se corta a la mitad repetidamente. Si a₁ es la longitud antes de cortar, encuentra a₅.
- a₁=64 y r=1/2.
- a₅=64(1/2)⁴=4 cm.
- La quinta posición corresponde a cuatro cortes, según la convención declarada.
Un error que conviene detectar: Sumar la razón en lugar de multiplicarla cambia el modelo. Revisa dos cocientes consecutivos y el exponente de la primera posición.
Predice y explora
El modelo inicial se ve abajo. Con los controles puedes cambiar los datos, escribir una predicción y contrastarla con la tabla y el dibujo. Las escalas se ajustan a cada caso: compara los valores de los ejes.
Antes de mostrar: predice el término o total para n=5 y explica la regla.
| n | Valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Calcula la razón de 2, 6, 18, si es geométrica.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Divide el segundo término entre el primero y comprueba con el tercero.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Calcula la razón de 3, 9, 27, si es geométrica.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Divide el segundo término entre el primero y comprueba con el tercero.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Calcula la razón de 4, 12, 36, si es geométrica.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Divide el segundo término entre el primero y comprueba con el tercero.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
a₁=2, r=2. Calcula a₅.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 32
- a₅=2·2⁴=32.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
a₁=3, r=2. Calcula a₅.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 48
- a₅=3·2⁴=48.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
a₁=4, r=2. Calcula a₅.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 64
- a₅=4·2⁴=64.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
a₁=32, r=1/2. Calcula a₄.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Hay tres multiplicaciones por 1/2: 32/8=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
a₁=48, r=1/2. Calcula a₄.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Hay tres multiplicaciones por 1/2: 48/8=6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
a₁=64, r=1/2. Calcula a₄.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- Hay tres multiplicaciones por 1/2: 64/8=8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Una figura tiene 2 puntos en la etapa 1 y cada nueva etapa triplica el total. ¿Cuántos puntos tiene en la etapa 5?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 162
- a₅=2·3⁴=162.
- La regla de construcción garantiza el factor constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Una figura tiene 3 puntos en la etapa 1 y cada nueva etapa triplica el total. ¿Cuántos puntos tiene en la etapa 5?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 243
- a₅=3·3⁴=243.
- La regla de construcción garantiza el factor constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Una figura tiene 4 puntos en la etapa 1 y cada nueva etapa triplica el total. ¿Cuántos puntos tiene en la etapa 5?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 324
- a₅=4·3⁴=324.
- La regla de construcción garantiza el factor constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
a₁=2, r=−2. Da los primeros cuatro términos y explica si son todos positivos.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2, -4, 8, -16; no
- Multiplicar por un negativo cambia el signo en cada paso.
- Los cocientes consecutivos siguen siendo −2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
a₁=3, r=−2. Da los primeros cuatro términos y explica si son todos positivos.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3, -6, 12, -24; no
- Multiplicar por un negativo cambia el signo en cada paso.
- Los cocientes consecutivos siguen siendo −2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
a₁=4, r=−2. Da los primeros cuatro términos y explica si son todos positivos.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4, -8, 16, -32; no
- Multiplicar por un negativo cambia el signo en cada paso.
- Los cocientes consecutivos siguen siendo −2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Explica por qué una razón entre cero y uno puede producir una sucesión decreciente de términos positivos.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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