Antes de empezar: Patrones, operaciones con enteros y ecuaciones de un paso.
- Identificar una diferencia constante, incluso negativa o cero.
- Usar aₙ=a₁+(n−1)d con n entero positivo.
- Recuperar posiciones y distinguir términos de sumas.
La diferencia que se conserva
Una sucesión es aritmética si la resta «término siguiente menos término anterior» tiene siempre el mismo valor d. Puede crecer, disminuir o mantenerse constante. Para 12, 9, 6, 3, la diferencia es −3. No basta que una lista esté ordenada para que sea aritmética.
Por qué aparece n−1
Desde la primera posición hasta la posición n hacemos n−1 saltos. Por eso . La fórmula incluye la condición n=1,2,3,…: la sucesión es discreta. Al representarla en el plano dibujamos puntos; unirlos puede servir de guía, pero no introduce posiciones fraccionarias.
Encontrar la posición
Para saber cuándo se alcanza un valor, iguala el término general a ese valor y resuelve. Después verifica que n sea un entero positivo. Un resultado como n=4.5 no identifica un término de la sucesión. Calcular el término n tampoco equivale a sumar todos los anteriores.
Ejemplos resueltos
Una diferencia negativa
En 20,16,12,8,… con diferencia constante, encuentra a₁₀.
- a₁=20 y d=−4.
- a₁₀=20+9(−4)=−16.
- El resultado negativo es válido: cada paso sigue restando 4.
Un valor que no se alcanza
¿Aparece 50 en la sucesión aₙ=5+3(n−1)?
- Iguala 5+3(n−1)=50.
- 3(n−1)=45, de donde n=16: sí aparece.
- Si se pregunta por 51, resulta n=49/3, que no es entero: 51 no aparece.
Un error que conviene detectar: Usar a₁+nd desplaza todos los resultados una posición. Sustituye n=1: debes recuperar exactamente a₁.
Predice y explora
El modelo inicial se ve abajo. Con los controles puedes cambiar los datos, escribir una predicción y contrastarla con la tabla y el dibujo. Las escalas se ajustan a cada caso: compara los valores de los ejes.
Antes de mostrar: predice el término o total para n=5 y explica la regla.
| n | Valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 8 |
| 4 | 11 |
| 5 | 14 |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Halla la diferencia de 2, 7, 12, suponiendo una sucesión aritmética.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Resta términos consecutivos: ambos cambios son 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Halla la diferencia de 3, 8, 13, suponiendo una sucesión aritmética.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Resta términos consecutivos: ambos cambios son 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Halla la diferencia de 4, 9, 14, suponiendo una sucesión aritmética.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Resta términos consecutivos: ambos cambios son 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
a₁=2, d=3. Calcula a₈.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 23
- Hay 7 incrementos: 2+7·3=23.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
a₁=3, d=3. Calcula a₈.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- Hay 7 incrementos: 3+7·3=24.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
a₁=4, d=3. Calcula a₈.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 25
- Hay 7 incrementos: 4+7·3=25.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
a₁=20, d=−2. Calcula a₁₂.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -2
- Aplica a₁₂=20+11(−2)=-2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
a₁=30, d=−2. Calcula a₁₂.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- Aplica a₁₂=30+11(−2)=8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
a₁=40, d=−2. Calcula a₁₂.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- Aplica a₁₂=40+11(−2)=18.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Ahorras 2 pesos el primer día y 4 pesos más cada día. ¿Qué día ahorras exactamente 38 pesos?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- 2+4(n−1)=38.
- n−1=9; n=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Ahorras 3 pesos el primer día y 4 pesos más cada día. ¿Qué día ahorras exactamente 39 pesos?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- 3+4(n−1)=39.
- n−1=9; n=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Ahorras 4 pesos el primer día y 4 pesos más cada día. ¿Qué día ahorras exactamente 40 pesos?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- 4+4(n−1)=40.
- n−1=9; n=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
¿Pertenece 12 a la sucesión aₙ=2+4(n−1), con n entero positivo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
La solución de la ecuación también debe cumplir el dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Igualar da 4(n−1)=10, por lo que n=7/2.
- Esa posición no es un entero positivo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
¿Pertenece 13 a la sucesión aₙ=3+4(n−1), con n entero positivo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
La solución de la ecuación también debe cumplir el dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Igualar da 4(n−1)=10, por lo que n=7/2.
- Esa posición no es un entero positivo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
¿Pertenece 14 a la sucesión aₙ=4+4(n−1), con n entero positivo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
La solución de la ecuación también debe cumplir el dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Igualar da 4(n−1)=10, por lo que n=7/2.
- Esa posición no es un entero positivo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Cómo comprobarías si un valor pertenece a una sucesión sin enumerar todos sus términos?
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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