EATRYL
Secundaria · Preparatoria

Perímetro fijo: área máxima y bandas de soluciones

Completa el cuadrado para obtener un máximo global y resolver restricciones de área sin derivadas.

Antes de empezar: Área de rectángulos, cuadrados perfectos e inecuaciones cuadráticas.

Al terminar: Completa el cuadrado para obtener un máximo global y resolver restricciones de área sin derivadas.

Recupera las bases: Ecuaciones cuadráticas

El semiperímetro relaciona los lados

Si el perímetro P está fijo, la suma de ancho y largo es S=P2. Al elegir ancho x, el otro lado queda determinado por S−x. Un rectángulo no degenerado exige 0<x<S. Los extremos corresponden a una figura aplastada de área cero y no pertenecen al dominio.

A(x)=x(S−x),0<x<S

Completar el cuadrado muestra el máximo global

Reorganiza el área como una constante menos un cuadrado. El término restado nunca es negativo. Por eso el área no supera S24 y alcanza ese valor cuando x=S2. El otro lado mide lo mismo: el cuadrado maximiza el área entre todos los rectángulos con ese perímetro. No es una conjetura obtenida de unos pocos dibujos.

A(x)=S24−(x−S2)2

Un objetivo de área es una restricción de distancia

Con perímetro 40m,S=20 y A(x)=100−(x−10)2. Exigir un área de al menos 84m2 equivale a(x−10)2≤16. La distancia entre x y 10 no supera 4: los anchos válidos van de 6 a 14 m, incluidos. Los dos extremos intercambian ancho y largo; describen rectángulos congruentes.

A(x)≥84⇔6≤x≤14

Estricto, imposible y caso límite

Si se exige más de 84m2, los extremos 6 y 14 se excluyen. Si se exige al menos 100m2, solo sirve x=10. Un objetivo mayor que 100m2 no tiene solución. Un objetivo de cero o menor no elimina ningún rectángulo del dominio original. Comprueba estos casos antes de tomar una raíz cuadrada.

No confundas máximo con una raíz

Las raíces de A(x)=0 indican área cero; el vértice da el máximo. Las raíces de A(x)−T=0 indican dónde se alcanza el objetivo T. Cada ecuación responde una pregunta distinta. En un problema con lados enteros, primero resuelve sobre los reales y después conserva los enteros del intervalo, respetando si sus extremos son abiertos o cerrados.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Entre rectángulos no degenerados de perímetro 24 m, encuentra el área máxima sin usar derivadas.

  1. Sea x el ancho; el largo es 12−x. El dominio es 0<x<12.
  2. Completa el cuadrado: el área es 36−(x−6)2.
  3. El cuadrado es no negativo: el área no supera 36. La igualdad se alcanza en x=6, dentro del dominio.

Ejemplo resuelto 2

Un rectángulo de perímetro 24 m debe tener área mayor que 32m2. Encuentra todos los anchos reales.

  1. El área se escribe 36−(x−6)2, con 0<x<12.
  2. La condición equivale a(x−6)2<4.
  3. La distancia de x a 6 debe ser menor que 2; los límites son 4 y 8.
  4. Los extremos se excluyen: allí el área solo iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Ejemplo resuelto 3

¿Existe un rectángulo de perímetro 24 m con área de al menos 37m2? Justifica sin buscar dimensiones por ensayo.

  1. Con ese perímetro, el área es 36−(x−6)2.
  2. Como un cuadrado no es negativo, el área máxima es 36, menor que 37.
  3. La condición exigiría que un cuadrado fuera menor o igual que −1, imposible en los reales.

Error frecuente: Usar el perímetro completo como suma de lados o buscar el máximo donde el área vale cero.

Predice · Explora · Comprueba

Explorador del modelo

El perímetro permanece en 40 m. Cambia el ancho y el objetivo de área mínima; distingue el área del caso elegido del conjunto de todos los anchos válidos.

A(x)=100−(x−10)20<x<20
020Área (m²)Ancho x (m)1100

Ancho: 10 m. Largo: 10 m. Área:100m2. Objetivo mínimo:84m2.

Todos los anchos del intervalo [6, 14] m cumplen el objetivo mínimo.

Menta: área según el ancho. Naranja discontinua: objetivo mínimo. El punto naranja muestra el ancho elegido. La curva incluye los extremos como referencia, pero 0 y 20 no representan rectángulos no degenerados. La solución se calcula sobre anchos reales; el control recorre enteros.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Un rectángulo tiene perímetro 32 m y ancho 3 m. Encuentra el largo y el área.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Largo 13 m; área 39m2.

  1. El semiperímetro es 16 m: ancho más largo, no dos veces esa cantidad.
  2. El largo es 16−3=13m; el área es 39m2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Un rectángulo tiene perímetro 40 m y ancho 4 m. Encuentra el largo y el área.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Largo 16 m; área 64m2.

  1. El semiperímetro es 20 m: ancho más largo, no dos veces esa cantidad.
  2. El largo es 20−4=16m; el área es 64m2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Un rectángulo tiene perímetro 48 m y ancho 5 m. Encuentra el largo y el área.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Largo 19 m; área 95m2.

  1. El semiperímetro es 24 m: ancho más largo, no dos veces esa cantidad.
  2. El largo es 24−5=19m; el área es 95m2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Entre rectángulos no degenerados de perímetro 32 m, encuentra el área máxima sin usar derivadas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 64m2, con lados de 8 m.

  1. Sea x el ancho; el largo es 16−x. El dominio es 0<x<16.
  2. Completa el cuadrado: el área es 64−(x−8)2.
  3. El cuadrado es no negativo: el área no supera 64. La igualdad se alcanza en x=8, dentro del dominio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Entre rectángulos no degenerados de perímetro 40 m, encuentra el área máxima sin usar derivadas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 100m2, con lados de 10 m.

  1. Sea x el ancho; el largo es 20−x. El dominio es 0<x<20.
  2. Completa el cuadrado: el área es 100−(x−10)2.
  3. El cuadrado es no negativo: el área no supera 100. La igualdad se alcanza en x=10, dentro del dominio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Entre rectángulos no degenerados de perímetro 48 m, encuentra el área máxima sin usar derivadas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 144m2, con lados de 12 m.

  1. Sea x el ancho; el largo es 24−x. El dominio es 0<x<24.
  2. Completa el cuadrado: el área es 144−(x−12)2.
  3. El cuadrado es no negativo: el área no supera 144. La igualdad se alcanza en x=12, dentro del dominio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Un rectángulo de perímetro 32 m debe tener área al menos 55m2. Encuentra todos los anchos reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 5≤x≤11m

  1. El área se escribe 64−(x−8)2, con 0<x<16.
  2. La condición equivale a(x−8)2≤9.
  3. La distancia de x a 8 debe ser como máximo 3; los límites son 5 y 11.
  4. Los extremos se incluyen: allí el área iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Un rectángulo de perímetro 40 m debe tener área al menos 84m2. Encuentra todos los anchos reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6≤x≤14m

  1. El área se escribe 100−(x−10)2, con 0<x<20.
  2. La condición equivale a(x−10)2≤16.
  3. La distancia de x a 10 debe ser como máximo 4; los límites son 6 y 14.
  4. Los extremos se incluyen: allí el área iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Un rectángulo de perímetro 48 m debe tener área al menos 119m2. Encuentra todos los anchos reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 7≤x≤17m

  1. El área se escribe 144−(x−12)2, con 0<x<24.
  2. La condición equivale a(x−12)2≤25.
  3. La distancia de x a 12 debe ser como máximo 5; los límites son 7 y 17.
  4. Los extremos se incluyen: allí el área iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Un rectángulo de perímetro 32 m debe tener área mayor que 55m2. Encuentra todos los anchos reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 5<x<11m

  1. El área se escribe 64−(x−8)2, con 0<x<16.
  2. La condición equivale a(x−8)2<9.
  3. La distancia de x a 8 debe ser menor que 3; los límites son 5 y 11.
  4. Los extremos se excluyen: allí el área solo iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Un rectángulo de perímetro 40 m debe tener área mayor que 84m2. Encuentra todos los anchos reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6<x<14m

  1. El área se escribe 100−(x−10)2, con 0<x<20.
  2. La condición equivale a(x−10)2<16.
  3. La distancia de x a 10 debe ser menor que 4; los límites son 6 y 14.
  4. Los extremos se excluyen: allí el área solo iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Un rectángulo de perímetro 48 m debe tener área mayor que 119m2. Encuentra todos los anchos reales.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 7<x<17m

  1. El área se escribe 144−(x−12)2, con 0<x<24.
  2. La condición equivale a(x−12)2<25.
  3. La distancia de x a 12 debe ser menor que 5; los límites son 7 y 17.
  4. Los extremos se excluyen: allí el área solo iguala el objetivo. Todo el intervalo está dentro del dominio geométrico.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

¿Existe un rectángulo de perímetro 32 m con área de al menos 66m2? Justifica sin buscar dimensiones por ensayo.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No existe.

  1. Con ese perímetro, el área es 64−(x−8)2.
  2. Como un cuadrado no es negativo, el área máxima es 64, menor que 66.
  3. La condición exigiría que un cuadrado fuera menor o igual que −2, imposible en los reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

¿Existe un rectángulo de perímetro 40 m con área de al menos 103m2? Justifica sin buscar dimensiones por ensayo.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No existe.

  1. Con ese perímetro, el área es 100−(x−10)2.
  2. Como un cuadrado no es negativo, el área máxima es 100, menor que 103.
  3. La condición exigiría que un cuadrado fuera menor o igual que −3, imposible en los reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

¿Existe un rectángulo de perímetro 48 m con área de al menos 148m2? Justifica sin buscar dimensiones por ensayo.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita y su dominio; construye la relación antes de resolver. Comprueba el resultado en el contexto.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No existe.

  1. Con ese perímetro, el área es 144−(x−12)2.
  2. Como un cuadrado no es negativo, el área máxima es 144, menor que 148.
  3. La condición exigiría que un cuadrado fuera menor o igual que −4, imposible en los reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Si se duplica el perímetro disponible, ¿por qué el área máxima se multiplica por cuatro y no por dos?

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Conceptos a mano

Dominio

Conjunto de valores permitidos para las variables de una expresión, función o problema. Por ejemplo, un denominador no puede valer cero.