Sistemas con parámetros: cruce, paralelismo y coincidencia

Antes de empezar: Sustitución, reducción y representación de rectas.

Al terminar: Determina cuándo un sistema tiene una solución, ninguna o infinitas, sin dividir por cero.

Recupera las bases: Talleres de sistemas

Dos ecuaciones deben cumplirse a la vez

La solución de un sistema es un par ordenado (x,y). No basta resolver cada ecuación por separado. En dos ecuaciones lineales que representan rectas, las soluciones comunes son sus intersecciones: un punto, ningún punto o toda una recta.

El determinante nace de la eliminación

Para Ax+By $= C$ y Dx+Ey $= F,$ multiplica la primera por E y la segunda por B, y resta: (AE−BD)x=CE−BF. Al eliminar x, resulta (AE−BD)y=AF−CD. El número Δ=AE−BD se llama determinante. Si no es cero, ambas divisiones son válidas y el par solución es único.

x = \frac{C E - B F}{A E - B D}, y = \frac{A F - C D}{A E - B D}

Determinante cero no significa necesariamente imposible

Si $Δ = 0,$ vuelve a la reducción y examina los términos independientes. Una igualdad como $0 = 5$ es imposible. Una identidad como $0 = 0$ indica dependencia entre ecuaciones; conserva una ecuación no nula y expresa una variable mediante un parámetro libre t. En los ejercicios de esta lección siempre queda al menos una ecuación no nula. En un sistema general también habría que revisar el caso en que ambas ecuaciones fueran $0 = 0,$ cuya solución sería todo el plano.

Dos valores excepcionales en una misma familia

En $a x + y = 2$ y $x + a y = 2, Δ = a^{2} - 1$ . Para a distinto de 1 y −1, hay una solución única. En $a = 1$ ambas ecuaciones son $x + y = 2,$ así que todos los pares $(2 - t, t)$ sirven. En $a = - 1,$ sumar las ecuaciones produce $0 = 4$ : no existe solución.

Comprobar el par y sus condiciones

Sustituye el par obtenido en las dos ecuaciones originales. Cerca de un valor excepcional, una intersección puede quedar fuera de la ventana del dibujo; eso no demuestra que no exista. La clasificación algebraica sigue siendo válida aunque no veas el punto.

Ejemplos resueltos

Caso resuelto 1

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 1; (1) x + (a) y = 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{a - 2}{a - 1}; y = \frac{1}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 1$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Caso resuelto 2

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 1; (1) x + (a) y = 1$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{a - 1}{a^{2} - 1}; y = \frac{a - 1}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 2$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{1 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Caso resuelto 3

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 1; (1) x + (a) y = 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{a - 2}{a^{2} - 1}; y = \frac{2 a - 1}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 3$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 1$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Error frecuente: Concluir «no tiene solución» a partir de $Δ = 0 \sin$ revisar la compatibilidad de los términos independientes.

Predice · Modifica · Justifica

Laboratorio de casos excepcionales

Familia inicial:

a x + y = 2, x + a y = 2

Predice qué pasará antes de elegir un valor excepcional. Usa las flechas del teclado sobre el deslizador para avanzar en pasos de $\frac{1}{4}$ .

y = 2, x = 2

Un par solución $: (x, y) = (2, 2)$ .

Caso inicial $: a = 0$ .

Menta: primera recta. Naranja: segunda recta (trazo discontinuo al activar controles). Blanco: intersección única visible. Ventana: −6 a 6 en ambos ejes; las escalas horizontal y vertical son distintas. Un punto fuera de la ventana no deja de existir. La clasificación exacta tiene prioridad sobre el dibujo.

Se muestra el caso

a = 0

. La teoría, el gráfico y las soluciones siguen disponibles sin JavaScript.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 2; (1) x + (a) y = 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{2 a - 4}{a - 1}; y = \frac{2}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 2$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 3; (1) x + (a) y = 6$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{3 a - 6}{a - 1}; y = \frac{3}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 3$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 4; (1) x + (a) y = 8$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{4 a - 8}{a - 1}; y = \frac{4}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 4$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 2; (1) x + (a) y = 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{2 a - 2}{a - 1}; y = \frac{0}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{2 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 3; (1) x + (a) y = 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{3 a - 3}{a - 1}; y = \frac{0}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{3 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x + (1) y = 4; (1) x + (a) y = 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

El determinante es $Δ = a - 1$ . Sus ceros son 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{4 a - 4}{a - 1}; y = \frac{0}{a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{4 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2) x + (1) y = 2; (1) x + (a) y = 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = 2 a - 1$ . Sus ceros son $\frac{1}{2}$ .
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{2 a - 3}{2 a - 1}; y = \frac{4}{2 a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = \frac{1}{2}$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 4$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2) x + (1) y = 3; (1) x + (a) y = 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = 2 a - 1$ . Sus ceros son $\frac{1}{2}$ .
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{3 a - 4}{2 a - 1}; y = \frac{5}{2 a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = \frac{1}{2}$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 5$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2) x + (1) y = 4; (1) x + (a) y = 5$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = 2 a - 1$ . Sus ceros son $\frac{1}{2}$ .
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{4 a - 5}{2 a - 1}; y = \frac{6}{2 a - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = \frac{1}{2}$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 6$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 2; (1) x + (a) y = 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{2 a - 2}{a^{2} - 1}; y = \frac{2 a - 2}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 4$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{2 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 3; (1) x + (a) y = 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{3 a - 3}{a^{2} - 1}; y = \frac{3 a - 3}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 6$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{3 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 4; (1) x + (a) y = 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{4 a - 4}{a^{2} - 1}; y = \frac{4 a - 4}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 8$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes. Con $y = t, x = \frac{4 - 1 t}{1},$ para todo t real.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 2; (1) x + (a) y = 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{2 a - 3}{a^{2} - 1}; y = \frac{3 a - 2}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 5$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 1$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 3; (1) x + (a) y = 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{3 a - 4}{a^{2} - 1}; y = \frac{4 a - 3}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 7$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 1$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x + (1) y = 4; (1) x + (a) y = 5$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El determinante es $Δ = a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Si $Δ \neq 0 : x = \frac{4 a - 5}{a^{2} - 1}; y = \frac{5 a - 4}{a^{2} - 1}$ . Se obtienen eliminando una incógnita.
Si $Δ = 0,$ vuelve a ambas ecuaciones: un determinante nulo no distingue por sí solo entre contradicción e identidad.
En $a = - 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = - 9$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
En $a = 1$ : La combinación que elimina x deja $0 y = 1$ . La igualdad es imposible; las rectas son paralelas distintas.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué dos ecuaciones equivalentes determinan infinitos pares y no un único par? Escribe tres pares distintos de la recta $x + y = 2$ .

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