Primer grado con parámetros: dividir exige distinguir casos

Antes de empezar: Ecuaciones de primer grado, factor común y diferencia de cuadrados.

Al terminar: Clasifica ecuaciones en una incógnita y conserva los casos de identidad y contradicción.

Una letra puede tener otro papel

La incógnita x es el valor que buscamos. El parámetro a representa un dato que permanece fijo mientras resolvemos, pero que puede cambiar entre problemas de una misma familia. Trabajaremos sobre los números reales. Clasificar según a significa cubrir todos sus valores posibles, no ensayar unos cuantos.

Tres casos que no se pueden mezclar

Escribe la ecuación como $A (a) x = B (a)$ . Si A(a) no vale cero, existe exactamente una solución: el cociente $B \frac{a}{A} (a)$ . Si ambos coeficientes son cero, queda una identidad y cualquier número real es solución. Si A(a) vale cero y B(a) no, queda una contradicción y no hay solución.

A x = B \Rightarrow x = \frac{B}{A} (A \neq 0)

La factorización localiza las excepciones

En $(a^{2} - 9) x = a - 3,$ factoriza $a^{2} - 9 = (a - 3) (a + 3)$ . Debes separar $a = 3$ y $a = - 3$ antes de dividir. Para los demás valores $x = \frac{1}{a + 3}$ . En $a = 3$ la ecuación original es $0 = 0$ ; en $a = - 3$ es $0 = - 6$ . La fórmula simplificada por sí sola no describe la familia completa.

Una interpretación geométrica

Dibuja $y = A (a) x$ y la horizontal $y = B (a)$ . Una intersección representa una solución. Si $A = 0,$ las dos rectas pueden coincidir o ser paralelas distintas. El laboratorio permite contrastar estos casos: el dibujo ayuda a interpretar; la igualdad exacta decide.

Del cálculo a un informe completo

Ordena los valores excepcionales, resuelve fuera de ellos y sustituye cada excepción en la ecuación inicial. Escribe las condiciones junto a cada fórmula. En un problema aplicado, añade las restricciones del contexto: por ejemplo, una cantidad de objetos no puede ser negativa ni fraccionaria, aunque la ecuación tenga una solución real.

Ejemplos resueltos

Caso resuelto 1

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x = 1$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

El coeficiente de x es a. Sus ceros son 0.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{1}{a}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 0,$ queda $0 x = 1$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

Caso resuelto 2

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2 a - 1) x = a - 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

El coeficiente de x es 2a−1. Sus ceros son $\frac{1}{2}$ .
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 2}{2 a - 1}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = \frac{1}{2},$ queda $0 x = - \frac{3}{2}$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < \frac{1}{2}$ : una solución real $; a > \frac{1}{2}$ : una solución real $; a = \frac{1}{2}$ : ninguna solución real.

Caso resuelto 3

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a^{2} - 1) x = a - 1$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

El coeficiente de x es $a^{2} - 1$ . Sus ceros son −1, 1.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 1}{a^{2} - 1}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = - 1,$ queda $0 x = - 2$ : contradicción; no existe solución.
En $a = 1,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < - 1$ : una solución real $; - 1 < a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = - 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : infinitas soluciones reales.

Error frecuente: Cancelar un factor que contiene a y omitir el valor para el que ese factor se anula.

Predice · Modifica · Justifica

Laboratorio de casos excepcionales

Familia inicial:

(a - 2) x = a - 2

Predice qué pasará antes de elegir un valor excepcional. Usa las flechas del teclado sobre el deslizador para avanzar en pasos de $\frac{1}{4}$ .

- 2 x = - 2

Una solución $: x = 1$ .

Caso inicial $: a = 0$ .

Menta: primera recta. Naranja: segunda recta (trazo discontinuo al activar controles). Blanco: intersección única visible. Ventana: −6 a 6 en ambos ejes; las escalas horizontal y vertical son distintas. Un punto fuera de la ventana no deja de existir. La clasificación exacta tiene prioridad sobre el dibujo.

Se muestra el caso

a = 0

. La teoría, el gráfico y las soluciones siguen disponibles sin JavaScript.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x = 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es a. Sus ceros son 0.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{2}{a}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 0,$ queda $0 x = 2$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x = 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es a. Sus ceros son 0.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{3}{a}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 0,$ queda $0 x = 3$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x = 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es a. Sus ceros son 0.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{4}{a}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 0,$ queda $0 x = 4$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 0$ : una solución real $; a > 0$ : una solución real $; a = 0$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 2) x = a - 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = 2$ : infinitas soluciones reales.

El coeficiente de x es a−2. Sus ceros son 2.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 2}{a - 2}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 2,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = 2$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 3) x = a - 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 3$ : una solución real $; a > 3$ : una solución real $; a = 3$ : infinitas soluciones reales.

El coeficiente de x es a−3. Sus ceros son 3.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 3}{a - 3}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 3,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < 3$ : una solución real $; a > 3$ : una solución real $; a = 3$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 4) x = a - 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 4$ : una solución real $; a > 4$ : una solución real $; a = 4$ : infinitas soluciones reales.

El coeficiente de x es a−4. Sus ceros son 4.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 4}{a - 4}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 4,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < 4$ : una solución real $; a > 4$ : una solución real $; a = 4$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 2) x = a + 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = 2$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es a−2. Sus ceros son 2.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a + 2}{a - 2}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 2,$ queda $0 x = 4$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = 2$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 3) x = a + 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 3$ : una solución real $; a > 3$ : una solución real $; a = 3$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es a−3. Sus ceros son 3.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a + 3}{a - 3}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 3,$ queda $0 x = 6$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 3$ : una solución real $; a > 3$ : una solución real $; a = 3$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 4) x = a + 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 4$ : una solución real $; a > 4$ : una solución real $; a = 4$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es a−4. Sus ceros son 4.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a + 4}{a - 4}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 4,$ queda $0 x = 8$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 4$ : una solución real $; a > 4$ : una solución real $; a = 4$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2 a - 2) x = a - 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es 2a−2. Sus ceros son 1.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 4}{2 a - 2}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 1,$ queda $0 x = - 3$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 1$ : una solución real $; a > 1$ : una solución real $; a = 1$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2 a - 3) x = a - 6$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < \frac{3}{2}$ : una solución real $; a > \frac{3}{2}$ : una solución real $; a = \frac{3}{2}$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es 2a−3. Sus ceros son $\frac{3}{2}$ .
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 6}{2 a - 3}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = \frac{3}{2},$ queda $0 x = - \frac{9}{2}$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < \frac{3}{2}$ : una solución real $; a > \frac{3}{2}$ : una solución real $; a = \frac{3}{2}$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(2 a - 4) x = a - 8$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = 2$ : ninguna solución real.

El coeficiente de x es 2a−4. Sus ceros son 2.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 8}{2 a - 4}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = 2,$ queda $0 x = - 6$ : contradicción; no existe solución.
Clasificación completa $: a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = 2$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a^{2} - 4) x = a - 2$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 2$ : una solución real $; - 2 < a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = - 2$ : ninguna solución real $; a = 2$ : infinitas soluciones reales.

El coeficiente de x es $a^{2} - 4$ . Sus ceros son −2, 2.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 2}{a^{2} - 4}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = - 2,$ queda $0 x = - 4$ : contradicción; no existe solución.
En $a = 2,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < - 2$ : una solución real $; - 2 < a < 2$ : una solución real $; a > 2$ : una solución real $; a = - 2$ : ninguna solución real $; a = 2$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a^{2} - 9) x = a - 3$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 3$ : una solución real $; - 3 < a < 3$ : una solución real $; a > 3$ : una solución real $; a = - 3$ : ninguna solución real $; a = 3$ : infinitas soluciones reales.

El coeficiente de x es $a^{2} - 9$ . Sus ceros son −3, 3.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 3}{a^{2} - 9}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = - 3,$ queda $0 x = - 6$ : contradicción; no existe solución.
En $a = 3,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < - 3$ : una solución real $; - 3 < a < 3$ : una solución real $; a > 3$ : una solución real $; a = - 3$ : ninguna solución real $; a = 3$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a^{2} - 16) x = a - 4$ . Da la solución cuando sea única y describe las soluciones infinitas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < - 4$ : una solución real $; - 4 < a < 4$ : una solución real $; a > 4$ : una solución real $; a = - 4$ : ninguna solución real $; a = 4$ : infinitas soluciones reales.

El coeficiente de x es $a^{2} - 16$ . Sus ceros son −4, 4.
Fuera de esos valores divide $: x = \frac{a - 4}{a^{2} - 16}$ . No uses esta fórmula donde su denominador es cero.
En $a = - 4,$ queda $0 x = - 8$ : contradicción; no existe solución.
En $a = 4,$ queda $0 x = 0$ : identidad; cualquier x real sirve.
Clasificación completa $: a < - 4$ : una solución real $; - 4 < a < 4$ : una solución real $; a > 4$ : una solución real $; a = - 4$ : ninguna solución real $; a = 4$ : infinitas soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

En $(a - 2) x = a - 2, ¿$ por qué $x = 1$ no describe todas las soluciones cuando $a = 2 ?$ Explica la diferencia entre una fórmula válida y una clasificación completa.

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