Cuadráticas con parámetros: discriminante y pérdida de grado

Antes de empezar: Fórmula general, discriminante, factorización e inecuaciones de primer grado.

Al terminar: Clasifica raíces reales atendiendo primero al coeficiente cuadrático y después al discriminante.

Recupera las bases: Ecuaciones cuadráticas

La primera pregunta es si sigue siendo cuadrática

En $A (a) x^{2} + B (a) x + C (a) = 0,$ el grado es dos solo cuando A(a) no vale cero. Si se anula, hay que resolver la ecuación lineal que queda; si también desaparece B, se decide entre identidad y contradicción. Aplicar la fórmula general con $A = 0$ produciría una división por cero.

El discriminante cuenta raíces reales distintas

Con $A \neq 0,$ define $D = B^{2} - 4$ AC. Si $D > 0$ hay dos raíces reales distintas. Si $D = 0$ hay una única raíz real de multiplicidad dos. Si $D < 0$ no hay raíces reales; no estamos clasificando aquí las raíces complejas.

x = \frac{- B \pm \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}

Un ejemplo con dos fronteras diferentes

En $(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0,$ primero separa $a = 1$ : queda $2 x + 1 = 0$ y $x = - \frac{1}{2}$ . Para $a \neq 1,$ el discriminante es $8 - 4 a$ . Si $a < 2$ y $a \neq 1$ hay dos raíces reales; en $a = 2$ la raíz doble es −1; si $a > 2$ no hay raíces reales. El valor $a = 1$ no es una raíz doble: la ecuación es lineal.

Factorizar puede mostrar mejor la excepción

En $a x^{2} + 6 x = 0,$ saca factor común $x (a x + 6) = 0$ . Si $a \neq 0$ las raíces son 0 y $- \frac{6}{a},$ distintas. Si $a = 0$ solo queda $6 x = 0$ . Dividir entre x habría perdido la raíz 0 para todos los valores del parámetro.

Relacionar parábola, recta y eje horizontal

Las raíces son los cortes con $y = 0$ . Con $A \neq 0,$ una raíz doble corresponde a una parábola tangente al eje. Con $A = 0$ y $B \neq 0,$ la gráfica es una recta. La ventana del laboratorio es finita: usa el discriminante y la ecuación original para justificar la cantidad de raíces, no solamente la apariencia del dibujo.

Ejemplos resueltos

Caso resuelto 1

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 2) x + (a) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Identifica $A = 1, B = - 2, C = a$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a + 4. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 1 : A = 1, B = - 2, C = 1$ . una solución real $. x = 1$ .
Clasificación completa $: a < 1$ : dos soluciones reales distintas $; a > 1$ : ninguna solución real $; a = 1$ : una solución real.

Caso resuelto 2

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 1) x^{2} + (2) x + (1) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Identifica $A = a - 1, B = 2, C = 1$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a + 8. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 1 : A = 0, B = 2, C = 1$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = - \frac{1}{2}$ .
En $a = 2 : A = 1, B = 2, C = 1$ . una solución real $. x = - 1$ .
Clasificación completa $: a < 1$ : dos soluciones reales distintas $; 1 < a < 2$ : dos soluciones reales distintas $; a > 2$ : ninguna solución real $; a = 1$ : una solución real $; a = 2$ : una solución real.

Caso resuelto 3

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (0) x + (- 1) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Identifica $A = a, B = 0, C = - 1$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 4 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 0, C = - 1$ . La ecuación deja de ser cuadrática. ninguna solución real.
Clasificación completa $: a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Error frecuente: Usar únicamente D para contar raíces cuando el coeficiente A puede ser cero.

Predice · Modifica · Justifica

Laboratorio de casos excepcionales

Familia inicial:

(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0

Predice qué pasará antes de elegir un valor excepcional. Usa las flechas del teclado sobre el deslizador para avanzar en pasos de $\frac{1}{4}$ .

- x^{2} + 2 x + 1 = 0

Dos raíces reales distintas $: x = 1 - \sqrt{2}$ y $x = 1 + \sqrt{2}$ .

Caso inicial $: a = 0$ .

Menta: gráfica del polinomio. Blanco: raíces visibles. El eje horizontal representa $y = 0$ . Ventana: −6 a 6 en ambos ejes; las escalas horizontal y vertical son distintas. Un punto fuera de la ventana no deja de existir. La clasificación exacta tiene prioridad sobre el dibujo.

Se muestra el caso

a = 0

. La teoría, el gráfico y las soluciones siguen disponibles sin JavaScript.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 4) x + (a) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 4$ : dos soluciones reales distintas $; a > 4$ : ninguna solución real $; a = 4$ : una solución real.

Identifica $A = 1, B = - 4, C = a$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a + 16. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 4 : A = 1, B = - 4, C = 4$ . una solución real $. x = 2$ .
Clasificación completa $: a < 4$ : dos soluciones reales distintas $; a > 4$ : ninguna solución real $; a = 4$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 6) x + (a) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 9$ : dos soluciones reales distintas $; a > 9$ : ninguna solución real $; a = 9$ : una solución real.

Identifica $A = 1, B = - 6, C = a$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a + 36. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 9 : A = 1, B = - 6, C = 9$ . una solución real $. x = 3$ .
Clasificación completa $: a < 9$ : dos soluciones reales distintas $; a > 9$ : ninguna solución real $; a = 9$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 8) x + (a) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 16$ : dos soluciones reales distintas $; a > 16$ : ninguna solución real $; a = 16$ : una solución real.

Identifica $A = 1, B = - 8, C = a$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a + 64. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 16 : A = 1, B = - 8, C = 16$ . una solución real $. x = 4$ .
Clasificación completa $: a < 16$ : dos soluciones reales distintas $; a > 16$ : ninguna solución real $; a = 16$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 4) x + (a + 4) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : ninguna solución real $; a = 0$ : una solución real.

Identifica $A = 1, B = - 4, C = a + 4$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 1, B = - 4, C = 4$ . una solución real $. x = 2$ .
Clasificación completa $: a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : ninguna solución real $; a = 0$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 6) x + (a + 9) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : ninguna solución real $; a = 0$ : una solución real.

Identifica $A = 1, B = - 6, C = a + 9$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 1, B = - 6, C = 9$ . una solución real $. x = 3$ .
Clasificación completa $: a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : ninguna solución real $; a = 0$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(1) x^{2} + (- 8) x + (a + 16) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : ninguna solución real $; a = 0$ : una solución real.

Identifica $A = 1, B = - 8, C = a + 16$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 4 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 1, B = - 8, C = 16$ . una solución real $. x = 4$ .
Clasificación completa $: a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : ninguna solución real $; a = 0$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (4) x + (0) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : una solución real.

Identifica $A = a, B = 4, C = 0$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 16. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 4, C = 0$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = 0$ .
Clasificación completa $: a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (6) x + (0) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : una solución real.

Identifica $A = a, B = 6, C = 0$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 36. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 6, C = 0$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = 0$ .
Clasificación completa $: a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (8) x + (0) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : una solución real.

Identifica $A = a, B = 8, C = 0$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 64. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 8, C = 0$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = 0$ .
Clasificación completa $: a < 0$ : dos soluciones reales distintas $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 2) x^{2} + (4) x + (4) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 2$ : dos soluciones reales distintas $; 2 < a < 3$ : dos soluciones reales distintas $; a > 3$ : ninguna solución real $; a = 2$ : una solución real $; a = 3$ : una solución real.

Identifica $A = a - 2, B = 4, C = 4$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 16 a + 48. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 2 : A = 0, B = 4, C = 4$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = - 1$ .
En $a = 3 : A = 1, B = 4, C = 4$ . una solución real $. x = - 2$ .
Clasificación completa $: a < 2$ : dos soluciones reales distintas $; 2 < a < 3$ : dos soluciones reales distintas $; a > 3$ : ninguna solución real $; a = 2$ : una solución real $; a = 3$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 3) x^{2} + (6) x + (9) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 3$ : dos soluciones reales distintas $; 3 < a < 4$ : dos soluciones reales distintas $; a > 4$ : ninguna solución real $; a = 3$ : una solución real $; a = 4$ : una solución real.

Identifica $A = a - 3, B = 6, C = 9$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 36 a + 144. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 3 : A = 0, B = 6, C = 9$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = - \frac{3}{2}$ .
En $a = 4 : A = 1, B = 6, C = 9$ . una solución real $. x = - 3$ .
Clasificación completa $: a < 3$ : dos soluciones reales distintas $; 3 < a < 4$ : dos soluciones reales distintas $; a > 4$ : ninguna solución real $; a = 3$ : una solución real $; a = 4$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a - 4) x^{2} + (8) x + (16) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 4$ : dos soluciones reales distintas $; 4 < a < 5$ : dos soluciones reales distintas $; a > 5$ : ninguna solución real $; a = 4$ : una solución real $; a = 5$ : una solución real.

Identifica $A = a - 4, B = 8, C = 16$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = - 64 a + 320. D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 4 : A = 0, B = 8, C = 16$ . La ecuación deja de ser cuadrática. una solución real $. x = - 2$ .
En $a = 5 : A = 1, B = 8, C = 16$ . una solución real $. x = - 4$ .
Clasificación completa $: a < 4$ : dos soluciones reales distintas $; 4 < a < 5$ : dos soluciones reales distintas $; a > 5$ : ninguna solución real $; a = 4$ : una solución real $; a = 5$ : una solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (0) x + (- 4) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Identifica $A = a, B = 0, C = - 4$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 16 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 0, C = - 4$ . La ecuación deja de ser cuadrática. ninguna solución real.
Clasificación completa $: a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (0) x + (- 9) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Identifica $A = a, B = 0, C = - 9$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 36 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 0, C = - 9$ . La ecuación deja de ser cuadrática. ninguna solución real.
Clasificación completa $: a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Para cada valor real del parámetro a, clasifica el número de soluciones reales de $(a) x^{2} + (0) x + (- 16) = 0$ . Revisa por separado cuándo deja de ser cuadrática y calcula las raíces en los casos con una sola solución.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero los valores que anulan el coeficiente principal o el determinante. Sustitúyelos en el problema original antes de dividir.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Identifica $A = a, B = 0, C = - 16$ . Primero separa los valores con $A = 0$ .
Cuando $A \neq 0,$ el discriminante es $D = 64 a . D > 0$ da dos raíces distintas $, D = 0$ una raíz doble y $D < 0$ ninguna raíz real.
Para $A \neq 0$ y $D \geq 0,$ las raíces se calculan con $x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{2 A} . «$ Raíz doble» cuenta como un solo valor real distinto.
En $a = 0 : A = 0, B = 0, C = - 16$ . La ecuación deja de ser cuadrática. ninguna solución real.
Clasificación completa $: a < 0$ : ninguna solución real $; a > 0$ : dos soluciones reales distintas $; a = 0$ : ninguna solución real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Puede una familia tener una sola raíz real por dos motivos distintos? Usa $(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ y compara $a = 1$ con $a = 2$ .

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