Valor absoluto y conjuntos solución

Interpretar valor absoluto como distancia.
Plantear los dos casos cuando la distancia es positiva.
Detectar soluciones únicas o ausencia de solución y verificar todas las candidatas.

Antes de empezar: Ecuaciones lineales y recta numérica.

Distancia al cero

$| x | = 3$ pregunta qué números están a distancia 3 del cero. Son −3 y 3. Escribe el conjunto completo, no solo el valor positivo.

$| x | = 0$ tiene una sola solución, x = 0. $| x | = - 3$ no tiene soluciones reales porque una distancia no puede ser negativa. El signo del miembro derecho debe revisarse antes de abrir casos.

Distancia a otro punto

$| x - 2 | = 3$ describe distancia 3 entre x y 2. Los dos puntos son $x = 2 - 3 = - 1$ y $x = 2 + 3 = 5$ .

Algebraicamente se consideran $x - 2 = 3$ o $x - 2 = - 3$ . La palabra «o» reúne las soluciones de ambos casos. No se exige que un mismo x cumpla simultáneamente las dos ecuaciones.

Una expresión dentro de las barras

Para $| 2 x - 1 | = 5$ , el interior puede valer 5 o −5. Primer caso: $2 x - 1 = 5$ , que da x = 3. Segundo: $2 x - 1 = - 5$ , que da x = −2.

Comprueba ambos en la original: los interiores son 5 y −5 y sus valores absolutos son 5. Las barras se aplican a toda la expresión interior.

Aislar antes de separar casos

En $2 | x - 3 | + 1 = 9$ , resta 1 y divide entre 2: $| x - 3 | = 4$ . Ahora x − 3 puede ser 4 o −4, por lo que las soluciones son 7 y −1.

Si al aislar obtienes un valor absoluto igual a un número negativo, termina: no hay soluciones. No conviertas una distancia negativa en positiva para fabricar respuestas.

Casos con fracciones y comprobación

En $2 | 3 x - 1 | + 4 = 10$ , resta 4 y divide entre 2: $| 3 x - 1 | = 3$ . Los casos dan $x = \frac{4}{3}$ y $x = - \frac{2}{3}$ .

Conserva esas fracciones exactas. En cada caso el valor absoluto es 3 y $2 \times 3 + 4 = 10$ . No basta verificar una sola candidata si se solicita todo el conjunto solución.

Qué cubre esta lección

Estudiamos una expresión lineal dentro de un único valor absoluto, con factores y constantes exteriores. Las ecuaciones con varios valores absolutos o expresiones no lineales requieren otros análisis de casos y quedan para un bloque posterior.

En las casillas separa las soluciones con punto y coma: −2;3. El orden no importa. Para un conjunto vacío escribe «ninguna» o ∅. Una coma dentro de un número se interpreta como separador decimal, no como separación de soluciones.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. Para un conjunto solución escribe todos los valores separados por punto y coma, por ejemplo −3;3. Si no hay soluciones escribe ninguna. No incluyas x= ni unidades en la casilla.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

Explícalo con tus palabras

Resuelve |x − 2| = 3 mediante distancia y mediante dos ecuaciones. Explica por qué la respuesta contiene dos valores.

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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