EATRYL
Secundaria · Preparatoria

Denominadores con incógnita: soluciones admisibles

Resuelve ecuaciones racionales reducibles a primer grado conservando los puntos excluidos del dominio.

Antes de empezar: Ecuaciones lineales, diferencia de cuadrados y dominio de un cociente.

Al terminar: Resuelve ecuaciones racionales reducibles a primer grado conservando los puntos excluidos del dominio.

Recupera las bases: Factorización · Signos y puntos excluidos

El dominio se escribe antes de simplificar

En una fracción algebraica, ningún denominador puede ser cero. La condición del denominador forma parte del problema original. Si el denominador es x−3, excluye x=3 antes de cancelar factores o multiplicar.

Multiplicar por una expresión no nula en el dominio

Para x+2x−1=2, el dominio exige x≠1. Dentro de ese dominio, multiplicar por x−1 es reversible. La ecuación resultante puede estar escrita también en valores excluidos; no los recuperes al resolverla.

x+2x−1=2x≠1x+2=2(x−1)

Cancelar un factor no borra un hueco

En x2−9x−3, factorizar permite escribir x+3 para x≠3. La expresión nueva sí tiene valor en 3, pero la original no. Si una ecuación simplificada propone ese valor, debes descartarlo.

x2−9x−3=6x≠3

Una identidad también puede tener restricciones

La igualdad x2−9x−3=x+3 se cumple para todos los reales excepto 3. Tiene infinitas soluciones y, aun así, no se cumple para todos los reales. Describe el conjunto solución junto con el dominio, no solo con la palabra «infinitas».

El producto cruzado tiene una justificación

La regla del producto cruzado procede de multiplicar ambos miembros por el producto de los denominadores. Es válida cuando ambos son no nulos. Si hay una suma de fracciones, primero aplica la operación a todos los términos: no cruces productos de manera aislada.

Comprobar y distinguir dos causas de ausencia de solución

Puede no haber solución porque la ecuación se reduce a una contradicción, o porque todos los candidatos quedan fuera del dominio. En ambos casos el conjunto solución es vacío, pero el motivo es distinto. Escribe las restricciones, resuelve y sustituye cada candidato en la expresión original.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Escribe primero el dominio; después elimina el denominador y comprueba la solución.

x+1x−1=2

Respuesta: x=3.

  1. El denominador exige x≠1. Solo en ese dominio puedes multiplicar por x−1.
  2. Queda x+1=2x−2; despeja x=3.
  3. 3 no es 1. Sustituye: el numerador vale 4, el denominador 2 y el cociente vale 2.
x=3

Ejemplo resuelto 2

Factoriza y resuelve sin devolver a la expresión un valor excluido.

x2−1x−1=2

Respuesta: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠1. Factoriza el numerador como (x−1)(x+1).
  2. En el dominio permitido, simplifica y resuelve x+1=2: el único candidato es x=1.
  3. El candidato anula el denominador original y no pertenece al dominio. Por tanto, no hay solución.
S=∅

Ejemplo resuelto 3

Describe todas las soluciones, incluidas sus restricciones. ¿Son todos los reales?

x2−1x−1=x+1

Respuesta: Todos los números reales, excepto x=1.

  1. Primero excluye x=1.
  2. Factoriza el numerador y cancela x−1 únicamente para x≠1.
  3. La igualdad simplificada es una identidad en el dominio original. Hay infinitas soluciones, pero no todos los reales: conserva el valor excluido.
x∈ℝ,x≠1

Ejemplo resuelto 4

Resuelve y distingue una contradicción algebraica de un candidato fuera del dominio.

x+1x−1=1

Respuesta: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠1. Multiplica por x−1 dentro de ese dominio.
  2. Queda x+1=x−1, es decir,1=−1.
  3. La igualdad es falsa y no deja ningún candidato. El conjunto solución es vacío.
S=∅

Ejemplo resuelto 5

Resuelve justificando el producto cruzado y comprobando ambos denominadores.

1x−1=2x+1

Respuesta: x=3.

  1. Excluye x=1 y x=−1 antes de operar.
  2. En ese dominio, multiplica por (x−1)(x+1):x+1=2(x−1).
  3. Obtienes x=3, que no es un valor excluido. Los miembros originales valen ambos 12.
x=3

Error frecuente: Aceptar un candidato que anula un denominador o afirmar que una identidad racional admite todos los reales sin restricciones.

Explorador: un candidato fuera del dominio

El cociente x2−4x−2 coincide con x+2 solo para x≠2. El círculo vacío conserva esa exclusión. Compara una ecuación sin solución con una identidad en un dominio restringido.

x2−4x−2=4x≠2

La recta continua representa el cociente en su dominio. La discontinua representa el segundo miembro elegido; si se superponen, la identidad se cumple excepto en el punto excluido.

Predice y comprueba

En la primera ecuación, ¿por qué no sirve el candidato x=2? Cambia al segundo miembro x+2: ¿por qué ahora hay infinitas soluciones, pero no todos los reales?

Usa Tab y flechas para manejar los controles. El texto comunica los valores y la conclusión del modelo.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Escribe primero el dominio; después elimina el denominador y comprueba la solución.

x+4x−1=2x+3x−1=2x+2x−1=2

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x=4.

x=4
  1. El denominador exige x≠1. Solo en ese dominio puedes multiplicar por x−1.
  2. Queda x+2=2x−2; despeja x=4.
  3. 4 no es 1. Sustituye: el numerador vale 6, el denominador 3 y el cociente vale 2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Escribe primero el dominio; después elimina el denominador y comprueba la solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x=5.

x=5x=5
  1. El denominador exige x≠1. Solo en ese dominio puedes multiplicar por x−1.
  2. Queda x+3=2x−2; despeja x=5.
  3. 5 no es 1. Sustituye: el numerador vale 8, el denominador 4 y el cociente vale 2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Escribe primero el dominio; después elimina el denominador y comprueba la solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x=6.

x=6
  1. El denominador exige x≠1. Solo en ese dominio puedes multiplicar por x−1.
  2. Queda x+4=2x−2; despeja x=6.
  3. 6 no es 1. Sustituye: el numerador vale 10, el denominador 5 y el cociente vale 2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Factoriza y resuelve sin devolver a la expresión un valor excluido.

x2−16x−4=8x2−9x−3=6x2−4x−2=4

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No hay soluciones.

S=∅S=∅S=∅S=∅S=∅S=∅
  1. El dominio exige x≠2. Factoriza el numerador como (x−2)(x+2).
  2. En el dominio permitido, simplifica y resuelve x+2=4: el único candidato es x=2.
  3. El candidato anula el denominador original y no pertenece al dominio. Por tanto, no hay solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Factoriza y resuelve sin devolver a la expresión un valor excluido.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠3. Factoriza el numerador como (x−3)(x+3).
  2. En el dominio permitido, simplifica y resuelve x+3=6: el único candidato es x=3.
  3. El candidato anula el denominador original y no pertenece al dominio. Por tanto, no hay solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Factoriza y resuelve sin devolver a la expresión un valor excluido.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠4. Factoriza el numerador como (x−4)(x+4).
  2. En el dominio permitido, simplifica y resuelve x+4=8: el único candidato es x=4.
  3. El candidato anula el denominador original y no pertenece al dominio. Por tanto, no hay solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Describe todas las soluciones, incluidas sus restricciones. ¿Son todos los reales?

x2−16x−4=x+4x2−9x−3=x+3x2−4x−2=x+2

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Todos los números reales, excepto x=2.

x∈ℝ,x≠2
  1. Primero excluye x=2.
  2. Factoriza el numerador y cancela x−2 únicamente para x≠2.
  3. La igualdad simplificada es una identidad en el dominio original. Hay infinitas soluciones, pero no todos los reales: conserva el valor excluido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Describe todas las soluciones, incluidas sus restricciones. ¿Son todos los reales?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Todos los números reales, excepto x=3.

x∈ℝ,x≠3
  1. Primero excluye x=3.
  2. Factoriza el numerador y cancela x−3 únicamente para x≠3.
  3. La igualdad simplificada es una identidad en el dominio original. Hay infinitas soluciones, pero no todos los reales: conserva el valor excluido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Describe todas las soluciones, incluidas sus restricciones. ¿Son todos los reales?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Todos los números reales, excepto x=4.

x∈ℝ,x≠4
  1. Primero excluye x=4.
  2. Factoriza el numerador y cancela x−4 únicamente para x≠4.
  3. La igualdad simplificada es una identidad en el dominio original. Hay infinitas soluciones, pero no todos los reales: conserva el valor excluido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve y distingue una contradicción algebraica de un candidato fuera del dominio.

x+1x−4=1x+1x−3=1x+1x−2=1

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠2. Multiplica por x−2 dentro de ese dominio.
  2. Queda x+1=x−2, es decir,1=−2.
  3. La igualdad es falsa y no deja ningún candidato. El conjunto solución es vacío.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve y distingue una contradicción algebraica de un candidato fuera del dominio.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠3. Multiplica por x−3 dentro de ese dominio.
  2. Queda x+1=x−3, es decir,1=−3.
  3. La igualdad es falsa y no deja ningún candidato. El conjunto solución es vacío.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve y distingue una contradicción algebraica de un candidato fuera del dominio.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No hay soluciones.

  1. El dominio exige x≠4. Multiplica por x−4 dentro de ese dominio.
  2. Queda x+1=x−4, es decir,1=−4.
  3. La igualdad es falsa y no deja ningún candidato. El conjunto solución es vacío.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve justificando el producto cruzado y comprobando ambos denominadores.

1x−4=2x+11x−3=2x+11x−2=2x+1

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x=5.

  1. Excluye x=2 y x=−1 antes de operar.
  2. En ese dominio, multiplica por (x−2)(x+1):x+1=2(x−2).
  3. Obtienes x=5, que no es un valor excluido. Los miembros originales valen ambos 13.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve justificando el producto cruzado y comprobando ambos denominadores.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x=7.

x=7
  1. Excluye x=3 y x=−1 antes de operar.
  2. En ese dominio, multiplica por (x−3)(x+1):x+1=2(x−3).
  3. Obtienes x=7, que no es un valor excluido. Los miembros originales valen ambos 14.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve justificando el producto cruzado y comprobando ambos denominadores.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe el dominio, opera en ambos miembros y comprueba en la ecuación original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x=9.

x=9
  1. Excluye x=4 y x=−1 antes de operar.
  2. En ese dominio, multiplica por (x−4)(x+1):x+1=2(x−4).
  3. Obtienes x=9, que no es un valor excluido. Los miembros originales valen ambos 15.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Compara una ecuación que conduce a0=1 con otra cuyo único candidato anula el denominador. ¿Por qué ambas carecen de solución, aunque el razonamiento final sea distinto?

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Conceptos a mano

Dominio

Conjunto de valores permitidos para las variables de una expresión, función o problema. Por ejemplo, un denominador no puede valer cero.

Denominador

Número o expresión situada debajo de la barra de una fracción. Debe ser distinto de cero.