Antes de empezar: Área del rectángulo, paralelismo y perpendicularidad.
Al terminar: Reconoce la altura perpendicular y deduce el área por recomposición.
Una altura, no cualquier lado
La altura respecto de una base es la distancia perpendicular entre la recta que contiene esa base y la recta paralela por el vértice opuesto. En un triángulo obtusángulo, el pie puede quedar fuera del lado. La base puede elegirse de distintas formas, pero cada elección exige su altura correspondiente.
Conservar superficie al trasladar
En un paralelogramo puedes recortar una pieza triangular de un extremo y trasladarla al otro para formar un rectángulo de igual base y altura. Sin superposiciones ni huecos, el área se conserva. Para inclinaciones grandes, corta en más piezas o usa una descomposición equivalente. De aquí A=bh. El lado oblicuo no reemplaza a h.
La mitad de un paralelogramo
Una diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos congruentes. Invirtiendo la idea, dos copias de un triángulo forman un paralelogramo con la misma base y altura. Por tanto A=bh/2. El factor 1/2 no depende de que el triángulo sea rectángulo.
Qué cambia al inclinar
Si el vértice de un triángulo se mueve por una recta paralela a su base, la altura permanece constante y el área también. Sus otros lados y su perímetro pueden cambiar. Para calcular el perímetro necesitas longitudes de los tres lados; base y altura, por sí solas, no bastan.
Ejemplos resueltos
Área y perímetro distintos
Un paralelogramo tiene base 8 cm, altura 3 cm y lado oblicuo 5 cm.
- A=8·3=24 cm².
- P=2(8+5)=26 cm.
- La altura se usa en el área; el lado oblicuo en el contorno.
Despejar una altura
Un triángulo tiene A=30 cm² y base de 12 cm.
- 30=12h/2.
- Multiplica por 2 y divide entre 12: h=5 cm.
- 12·5/2=30 cm² verifica el resultado.
Error frecuente: Usar el lado inclinado como altura sin comprobar que sea perpendicular a la base.
Una pieza se mueve; el área permanece
Predice el resultado antes de mover un control. Después explica qué cambió y qué permaneció igual.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un paralelogramo tiene base 6 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- A=bh=3·6=18.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un paralelogramo tiene base 7 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 21
- A=bh=3·7=21.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un paralelogramo tiene base 8 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- A=bh=3·8=24.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Un triángulo tiene base 5 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15/2
- A=(5)·3/2=15/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Un triángulo tiene base 7 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 21/2
- A=(7)·3/2=21/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Un triángulo tiene base 9 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 27/2
- A=(9)·3/2=27/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un triángulo tiene área 12 cm² y base 4 cm. Halla h en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- h=2A/b=2·12/4=6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un triángulo tiene área 18 cm² y base 4 cm. Halla h en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- h=2A/b=2·18/4=9.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un triángulo tiene área 24 cm² y base 4 cm. Halla h en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- h=2A/b=2·24/4=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un paralelogramo de base 7 cm, lado oblicuo 5 cm y altura 4 cm se recorta sin perder superficie. Halla su área en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 28
- La altura perpendicular es 4.
- A=4·7=28; el lado 5 no sustituye a h.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un paralelogramo de base 8 cm, lado oblicuo 5 cm y altura 4 cm se recorta sin perder superficie. Halla su área en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 32
- La altura perpendicular es 4.
- A=4·8=32; el lado 5 no sustituye a h.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un paralelogramo de base 9 cm, lado oblicuo 5 cm y altura 4 cm se recorta sin perder superficie. Halla su área en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- La altura perpendicular es 4.
- A=4·9=36; el lado 5 no sustituye a h.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Dos triángulos tienen base 4 y altura 3. Uno es obtusángulo. ¿Tienen igual área? Indica el valor.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí: 6 unidades²
- En ambos A=(4)(3)/2=6.
- La posición del pie de la altura no cambia la distancia perpendicular.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Dos triángulos tienen base 6 y altura 4. Uno es obtusángulo. ¿Tienen igual área? Indica el valor.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí: 12 unidades²
- En ambos A=(6)(4)/2=12.
- La posición del pie de la altura no cambia la distancia perpendicular.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Dos triángulos tienen base 8 y altura 5. Uno es obtusángulo. ¿Tienen igual área? Indica el valor.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sí: 20 unidades²
- En ambos A=(8)(5)/2=20.
- La posición del pie de la altura no cambia la distancia perpendicular.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Por qué dos triángulos de igual base y altura pueden tener perímetros distintos?
Trabaja este tema con un profesor
Consulta disponibilidad y costo de clases en línea para reforzar lo que necesitas.
Consultar una clase sobre este tema