Antes de empezar: Triángulos, paralelogramos y clasificación de cuadriláteros.
Al terminar: Deduce dos fórmulas mediante triángulos y copias de la figura.
Rombo: cuatro triángulos rectángulos
Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan. Dividen la figura en cuatro triángulos rectángulos con catetos D/2 y d/2. La suma de sus áreas es 4·(D/2)(d/2)/2=Dd/2. D y d designan las diagonales completas.
Un perímetro que requiere otro paso
El lado del rombo es la hipotenusa de uno de esos triángulos: l=√((D/2)²+(d/2)²). Entonces P=4l. Sumar D y d no da el perímetro. Tampoco debes aplicar Dd/2 a cualquier cuadrilátero: aquí la perpendicularidad es esencial.
Trapecio: dos copias hacen un paralelogramo
Denomina B y b a las bases paralelas y h a su distancia perpendicular. Una segunda copia girada 180° puede juntarse con la primera formando un paralelogramo de base B+b y altura h. Cada trapecio ocupa la mitad de esa área: A=(B+b)h/2. La deducción no exige trapecio isósceles.
La base media
La longitud media de las bases es (B+b)/2. El área equivale a base media por altura. La regla también coincide con A=bh si ambas bases son iguales; bajo la convención de “exactamente un par de lados paralelos”, esa figura ya es un paralelogramo. Para el perímetro del trapecio se suman sus cuatro lados, no sus bases y altura.
Ejemplos resueltos
Diagonales completas
Un rombo tiene diagonales de 6 y 8 cm.
- A=6·8/2=24 cm².
- Las semidiagonales son 3 y 4 cm; el lado mide 5 cm por Pitágoras.
- P=20 cm.
Despejar una base
Un trapecio tiene A=35 cm², h=5 cm y base menor de 4 cm.
- 35=(B+4)5/2.
- 14=B+4; por tanto B=10 cm.
- (10+4)5/2=35 cm².
Error frecuente: Confundir diagonales con semidiagonales, o dividir entre dos únicamente una de las bases.
Dos copias explican el factor un medio
Predice el resultado antes de mover un control. Después explica qué cambió y qué permaneció igual.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un rombo tiene diagonales 4 y 6 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- A=(4)6/2=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un rombo tiene diagonales 6 y 6 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- A=(6)6/2=18.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un rombo tiene diagonales 8 y 6 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- A=(8)6/2=24.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Un trapecio tiene bases 7 y 3 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- A=(7+3)3/2=15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Un trapecio tiene bases 8 y 4 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- A=(8+4)3/2=18.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Un trapecio tiene bases 9 y 5 y altura 3 cm. Halla A en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 21
- A=(9+5)3/2=21.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un trapecio tiene área 20 cm² y bases 7 y 3 cm. Halla h en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- h=2A/(B+b)=2·20/10=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un trapecio tiene área 24 cm² y bases 8 y 4 cm. Halla h en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- h=2A/(B+b)=2·24/12=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un trapecio tiene área 28 cm² y bases 9 y 5 cm. Halla h en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- h=2A/(B+b)=2·28/14=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un rombo tiene diagonales 12 y 16 cm. Halla su perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 40
- Semidiagonales 6 y 8.
- Lado=10 por Pitágoras; P=40.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rombo tiene diagonales 18 y 24 cm. Halla su perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 60
- Semidiagonales 9 y 12.
- Lado=15 por Pitágoras; P=60.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un rombo tiene diagonales 24 y 32 cm. Halla su perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 80
- Semidiagonales 12 y 16.
- Lado=20 por Pitágoras; P=80.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
¿Puede un trapecio de bases 7 y 3 y altura 2 tener área 12?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El área obligada es (7+3)·2/2=10.
- El valor propuesto no satisface los datos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
¿Puede un trapecio de bases 8 y 4 y altura 2 tener área 14?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El área obligada es (8+4)·2/2=12.
- El valor propuesto no satisface los datos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
¿Puede un trapecio de bases 9 y 5 y altura 2 tener área 16?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El área obligada es (9+5)·2/2=14.
- El valor propuesto no satisface los datos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Compara el área de un trapecio con la de los rectángulos de bases b y B y la misma altura.
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