Laboratorio matemático · Trigonometría y geometría

Curvas de Lissajous y rosas polares

Dos movimientos sinusoidales perpendiculares producen una trayectoria cuyo patrón depende de la razón de frecuencias y de la fase. En coordenadas polares, una regla como r = cos(kθ) forma una rosa con pétalos regidos por k.

Animación guiada · 6 escenas · 56 s

Recorre la animación

Usa Pausa, Reiniciar o la línea de tiempo para revisar cada etapa. La secuencia compara un movimiento, dos movimientos, distintas razones de frecuencia y rosas polares.

Si el marco no se muestra, abre la animación directamente.

Relación entre las frecuencias

x(t) = A sen(at + δ), y(t) = B sen(bt)
r(θ) = R cos(kθ)

Cuando a/b es racional, la trayectoria de Lissajous se cierra después de un intervalo finito. La fase δ modifica la orientación y la simetría. Para la rosa r = R cos(kθ), k entero impar produce k pétalos y k entero par produce 2k pétalos.

Sobre los pétalos: el conteo se refiere a la curva ideal completa. La animación muestra un radio y una escala normalizados para facilitar la lectura; no representa un objeto físico.

Exploración guiada

1 · Una frecuenciaEn la escena de un movimiento, sigue la proyección del punto. Su coordenada cambia como una función seno.

2 · Razón 3:2Compara las vueltas horizontales y verticales y observa cuándo el trazo se cierra.

3 · Paridad de kEn las rosas polares, compara k = 3 con k = 4 y cuenta los pétalos de la curva completa.

Conexiones

La suma de rotaciones para construir señales se explora en Círculos y series de Fourier. Para otras trayectorias, visita las simulaciones matemáticas.