Extensión: problemas de varios pasos con triángulos rectángulos.
Antes de empezar: Cuadrados, raíces, área y triángulos rectángulos.
- Identificar la hipotenusa por estar frente al ángulo recto.
- Aplicar a²+b²=c² con c como hipotenusa.
- Interpretar ternas y verificar unidades.
Relación entre áreas
En un triángulo rectángulo, si a y b son los catetos y c la hipotenusa, entonces a²+b²=c². La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo de 90° y es el más largo. La relación compara cuadrados de longitudes; no afirma que a+b=c.
Encontrar cualquiera de los lados
Si faltan cateto a y se conocen b y c, despeja a=√(c²−b²). Antes comprueba c>b; de otro modo el radicando sería negativo y los datos no describirían un triángulo rectángulo real. Sustituye la respuesta en la ecuación original para verificar.
Modelar con cuidado
Dibuja o identifica el ángulo recto y asigna la hipotenusa. Usa unidades consistentes y no redondees una raíz exacta antes de terminar. El resultado es una longitud positiva. Si el problema es aplicado, revisa si la precisión decimal tiene sentido en el contexto.
Ejemplos resueltos
Cateto faltante
Los catetos miden 6 cm y 8 cm. Encuentra la hipotenusa.
- c²=6²+8²=36+64=100.
- c=√100=10 cm; se toma la raíz positiva.
- Comprueba que 6²+8²=10².
Cateto desde la hipotenusa
La hipotenusa mide 13 cm y un cateto 5 cm. Encuentra el otro.
- a²=13²−5²=169−25=144.
- a=√144=12 cm.
- El cateto es menor que la hipotenusa y verifica 5²+12²=13².
Un error que conviene detectar: Poner como c el lado más largo en el texto sin identificar el ángulo recto. La hipotenusa está frente a 90°.
Predice y explora
El dibujo es un modelo matemático con datos declarados. Escribe primero qué esperas encontrar; después cambia el caso y avanza los pasos. No midas longitudes en píxeles: usa las etiquetas, las marcas y las relaciones mostradas.
¿Cuál es la hipotenusa y qué igualdad relaciona los tres lados?
| Dato | Lectura |
|---|---|
| Catetos | 3 y 4 |
| Hipotenusa | 5.0 |
| Relación | 3² + 4² = 5.0² |
Paso del modelo: 3 de 7. Llama c al lado opuesto a 90°.
- Ubica el ángulo recto.
- Nombra a y b a los catetos.
- Llama c al lado opuesto a 90°.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles progresivos. Las respuestas numéricas se comprueban con exactitud; las explicaciones abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Los catetos miden 6 y 8 cm. Halla la hipotenusa.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- c²=(6)²+(8)²=100.
- c=√100=10 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Los catetos miden 9 y 12 cm. Halla la hipotenusa.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- c²=(9)²+(12)²=225.
- c=√225=15 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Los catetos miden 12 y 16 cm. Halla la hipotenusa.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- c²=(12)²+(16)²=400.
- c=√400=20 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
La hipotenusa mide 10 cm y un cateto 6 cm. Halla el otro cateto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- a²=(10)²−(6)²=64.
- a=√64=8 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
La hipotenusa mide 15 cm y un cateto 9 cm. Halla el otro cateto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- a²=(15)²−(9)²=144.
- a=√144=12 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
La hipotenusa mide 20 cm y un cateto 12 cm. Halla el otro cateto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- a²=(20)²−(12)²=256.
- a=√256=16 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un triángulo con lados 4, 5 y 6 tiene como lado mayor 6. ¿Es rectángulo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- (4)²+(5)² no es igual a (6)².
- Verifica los cuadrados antes de afirmarlo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un triángulo con lados 5, 6 y 7 tiene como lado mayor 7. ¿Es rectángulo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- (5)²+(6)² no es igual a (7)².
- Verifica los cuadrados antes de afirmarlo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un triángulo con lados 6, 7 y 8 tiene como lado mayor 8. ¿Es rectángulo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- (6)²+(7)² no es igual a (8)².
- Verifica los cuadrados antes de afirmarlo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Una escalera de 10 m llega a una altura de 8 m en una pared. ¿A qué distancia está su base de la pared?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- d²=(10)²−(8)²=36.
- d=6 m.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Una escalera de 15 m llega a una altura de 12 m en una pared. ¿A qué distancia está su base de la pared?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- d²=(15)²−(12)²=81.
- d=9 m.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Una escalera de 20 m llega a una altura de 16 m en una pared. ¿A qué distancia está su base de la pared?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- d²=(20)²−(16)²=144.
- d=12 m.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Una diagonal de rectángulo mide 10 cm y un lado mide 6 cm. Halla el otro lado.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- La diagonal es la hipotenusa.
- b²=252²−92²=162²; b=8 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Una diagonal de rectángulo mide 15 cm y un lado mide 9 cm. Halla el otro lado.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- La diagonal es la hipotenusa.
- b²=253²−93²=163²; b=12 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Una diagonal de rectángulo mide 20 cm y un lado mide 12 cm. Halla el otro lado.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- La diagonal es la hipotenusa.
- b²=254²−94²=164²; b=16 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
¿Por qué al despejar un cateto se resta un cuadrado, pero al encontrar la hipotenusa se suman?
Escribe la regla, sus condiciones y una comprobación que permita detectar un error.
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