Diagnóstico: raíces y coeficientes

Resuelve antes de consultar ayuda. En este bloque se revisan modelos, restricciones y procedimientos: compara tu respuesta con la solución modelo. Marcar una respuesta como revisada no equivale a una calificación automática.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

5 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Construye la ecuación cuadrática mónica que tiene esas raíces. «Mónica» significa coeficiente principal igual a 1.

r_{1} = 5 r_{2} = 7 a = 1

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 12 x + 35 = 0$ .

x^{2} - 12 x + 35 = 0

Una raíz r corresponde al factor x−r. Escribe $(x - 5) (x - 7) = 0$ .
La suma de raíces es 12; por eso el coeficiente de x es −12. El producto es 35.
Expande $: x^{2} - 12 x + 35 = 0$ . Sustituir cualquiera de las raíces anula uno de los factores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 2

Reconstruye la cuadrática con el coeficiente principal indicado. No supongas que siempre vale 1.

r_{1} = - 5 r_{2} = 6 a = 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 2 x - 60 = 0$ .

2 x^{2} - 2 x - 60 = 0

Escribe $2 (x + 5) (x - 6) = 0$ . El signo del factor cambia respecto de la raíz.
Las raíces suman 1 y multiplican −30. Multiplica los tres coeficientes del producto mónico por 2.
Queda $2 x^{2} - 2 x - 60 = 0$ . Comprueba $- \frac{b}{a} = 1$ y $\frac{c}{a} = - 30$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 3

Halla el coeficiente b y la otra raíz. Usa que el número indicado satisface la ecuación.

2 x^{2} + b x + 60 = 0 r_{1} = 5

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 22 x + 60 = 0. b = - 22$ ; la otra raíz es 6.

2 x^{2} - 22 x + 60 = 0

Sustituye $x = 5 : 50 + 5 b + 60 = 0$ . Como $5 \neq 0,$ puedes despejar $b = - 22$ .
El producto de raíces es $\frac{c}{a} = 30$ . Al dividir entre la raíz conocida 5, la otra raíz es 6.
Comprueba la suma $: 5 + 6 = 11 = - \frac{b}{2}$ . La ecuación completa es $2 x^{2} - 22 x + 60 = 0$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 4

Elige c para que la ecuación tenga una raíz real doble. Indica esa raíz y explica su multiplicidad.

x^{2} - 10 x + c = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 10 x + 25 = 0. c = 25; x = 5$ es raíz doble.

x^{2} - 10 x + 25 = 0

Completar el cuadrado da ${(x - 5)}^{2} + c - 25 = 0$ . Para tener raíz doble debe quedar ${(x - 5)}^{2} = 0$ .
Por tanto $c = 25$ y la única raíz distinta es $x = 5,$ repetida dos veces en la factorización.
La suma contando multiplicidades es 10 y el producto 25. El discriminante es cero. La gráfica toca el eje en lugar de atravesarlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 5

Construye la ecuación mónica sin aproximar los radicales. Explica por qué sus coeficientes son enteros.

r_{1} = 5 + \sqrt{6} r_{2} = 5 - \sqrt{6} a = 1

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 10 x + 19 = 0$ .

x^{2} - 10 x + 19 = 0

La suma cancela los radicales y vale 10.
El producto usa conjugados $: (5 + \sqrt{6}) (5 - \sqrt{6}) = 25 - 6 = 19$ .
La ecuación es $x^{2} - 10 x + 19 = 0$ . También equivale $a {(x - 5)}^{2} = 6$ ; esto recupera exactamente ambas raíces.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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Taller 1 · Álgebra

Raíces y coeficientes: reconstruir una ecuación cuadrática

Usa suma y producto de raíces para construir ecuaciones, recuperar coeficientes y comprobar resultados exactos.

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