Objetivo: Clasifica por propiedades y comprende la inclusión entre familias.
Definir antes de reconocer
Un polígono simple es una cadena cerrada de segmentos que solo se encuentran en vértices consecutivos; aquí no admitimos lados consecutivos alineados. Un cuadrilátero tiene cuatro lados. Es convexo si cada ángulo interior es menor que 180°; es cóncavo si alguno supera 180°. Girarlo no cambia su clasificación. En esta lección las familias especiales se consideran convexas.
Una clasificación inclusiva
Un paralelogramo tiene dos pares de lados opuestos paralelos. Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos; un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales. El cuadrado cumple ambas condiciones: es rectángulo, rombo y paralelogramo. Los recíprocos no valen: un rectángulo de 3 por 5 no es cuadrado.
Trapecios y convenciones
Usamos trapecio para un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos: las bases. Algunos libros emplean “al menos un par”; debes declarar la convención al comparar clasificaciones. Un trapecio isósceles tiene iguales los lados no paralelos; sus ángulos junto a cada base son iguales y sus diagonales tienen igual longitud.
Diagonales: qué permiten concluir
En todo paralelogramo las diagonales se cortan por sus puntos medios. En un rectángulo además son iguales; en un rombo además son perpendiculares. El cuadrado reúne las tres propiedades. Dos diagonales iguales por sí solas no prueban que haya rectángulo: un trapecio isósceles también las tiene. Dos diagonales perpendiculares por sí solas tampoco prueban que haya rombo.
Aplicación y prueba
En un marco rectangular puedes comprobar las diagonales, pero su igualdad solo certifica el rectángulo si ya sabes que el marco es un paralelogramo. Para justificar la bisección de diagonales de un paralelogramo, compara los triángulos formados en el cruce: lados opuestos iguales y ángulos alternos internos iguales dan congruencia. No uses la apariencia del dibujo como hipótesis.
Ejemplos resueltos
Un cuadrado inclinado
Una figura tiene cuatro lados de 5 cm y cuatro ángulos rectos.
- Los ángulos la hacen rectángulo; los lados iguales la hacen rombo.
- Cumple ambas definiciones: es cuadrado, y también paralelogramo.
- La orientación respecto de la pantalla es irrelevante.
Una conclusión inválida
Las diagonales son iguales. ¿Es un rectángulo?
- Falta saber si la figura es un paralelogramo.
- Un trapecio isósceles no rectangular es un contraejemplo.
- Con la hipótesis adicional de paralelogramo, sí se obtiene un rectángulo.
Error frecuente: Confundir “todos los cuadrados son rectángulos” con “todos los rectángulos son cuadrados”.
Predice, cambia y comprueba
Elige una vista. Antes de mover el control, predice cuántos triángulos, diagonales o ejes aparecerán.
La vista de Varignon usa un cuadrilátero fijo. Las demás usan un polígono regular; no prueban propiedades de todos los polígonos por su apariencia.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un rectángulo mide 2 por 4. ¿Es cuadrado?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Sus lados adyacentes 2 y 4 son distintos.
- Sí es paralelogramo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un rectángulo mide 3 por 5. ¿Es cuadrado?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Sus lados adyacentes 3 y 5 son distintos.
- Sí es paralelogramo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un rectángulo mide 4 por 6. ¿Es cuadrado?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Sus lados adyacentes 4 y 6 son distintos.
- Sí es paralelogramo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en O. AO=5 cm. Calcula AC en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- O es el punto medio.
- AC=2·5=10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en O. AO=6 cm. Calcula AC en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- O es el punto medio.
- AC=2·6=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en O. AO=7 cm. Calcula AC en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 14
- O es el punto medio.
- AC=2·7=14.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
En un rombo, AO=2 y BO=3. ¿Las diagonales son iguales?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- AC=4; BD=6.
- El rombo no exige diagonales iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
En un rombo, AO=3 y BO=4. ¿Las diagonales son iguales?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- AC=6; BD=8.
- El rombo no exige diagonales iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
En un rombo, AO=4 y BO=5. ¿Las diagonales son iguales?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- AC=8; BD=10.
- El rombo no exige diagonales iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un marco es un paralelogramo y sus diagonales miden ambas 10 cm. ¿Qué familia puedes asegurar?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Rectángulo
- En un paralelogramo, diagonales iguales implican ángulos rectos.
- No se deduce igualdad de los cuatro lados.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un marco es un paralelogramo y sus diagonales miden ambas 15 cm. ¿Qué familia puedes asegurar?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Rectángulo
- En un paralelogramo, diagonales iguales implican ángulos rectos.
- No se deduce igualdad de los cuatro lados.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un marco es un paralelogramo y sus diagonales miden ambas 20 cm. ¿Qué familia puedes asegurar?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Rectángulo
- En un paralelogramo, diagonales iguales implican ángulos rectos.
- No se deduce igualdad de los cuatro lados.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares de longitudes 8 y 12. ¿Basta para llamarlo rombo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Falta que se bisecten.
- Un cometa con diagonales perpendiculares y solo una bisecada da un contraejemplo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares de longitudes 12 y 18. ¿Basta para llamarlo rombo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Falta que se bisecten.
- Un cometa con diagonales perpendiculares y solo una bisecada da un contraejemplo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares de longitudes 16 y 24. ¿Basta para llamarlo rombo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Falta que se bisecten.
- Un cometa con diagonales perpendiculares y solo una bisecada da un contraejemplo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.