Ángulos de polígonos: de los triángulos a la regla general

Objetivo: Deduce sumas interiores y exteriores y resuelve problemas inversos.

Una suma que nace de un dibujo

Desde un vértice de un polígono convexo de n lados traza diagonales a todos los vértices no vecinos. Aparecen n−2 triángulos con interiores disjuntos que cubren el polígono. Sus ángulos suman los del polígono, de modo que $S = (n - 2) \cdot 180^{°}$ . En un cuadrilátero son dos triángulos: 360°.

S = (n - 2) 180

Qué ocurre con los cóncavos

La misma suma vale para polígonos simples cóncavos, pero no toda diagonal desde un vértice queda dentro. Se necesita una triangulación interior válida. No apliques la regla sin más a estrellas cuyos lados se cruzan.

Una vuelta completa

Al recorrer el borde de un polígono convexo, un ángulo exterior de giro en cada vértice acumula 360°. El exterior y el interior adyacente suman 180°. En un polígono cóncavo se deben usar giros con signo; sumar valores absolutos no representa necesariamente una vuelta.

Nombres que conviene reconocer

3: triángulo; 4: cuadrilátero; 5: pentágono; 6: hexágono; 7: heptágono; 8: octágono; 9: eneágono o nonágono; 10: decágono. El nombre indica lados, no regularidad. Un pentágono puede ser irregular.

Cuando todos son iguales

Regular significa lados y ángulos iguales. Cada exterior mide $360 \frac{^°}{n}$ y cada interior $180^{°} - 360 \frac{^°}{n}$ . Un cuadrilátero con lados iguales no es necesariamente regular: un rombo no cuadrado tiene ángulos distintos. Para recuperar n desde el interior α, usa $n = \frac{360}{180 - α}$ y exige un entero de al menos 3.

α = 180 - \frac{360}{n}

De la regla a una decisión

Una pieza regular puede rodear un punto sin huecos por sí sola solo si un número entero de sus ángulos interiores suma 360°. Esta es una condición local para teselaciones regulares, no una prueba general para mezclar figuras.

Ejemplos resueltos

El ángulo que falta

Un cuadrilátero tiene ángulos de 80°, 95° y 110°.

La suma es 360°.
El cuarto es $360 - 80 - 95 - 110 = 75^{°}$ .
Los cuatro son positivos y suman 360°.

Reconstruir el polígono

Un polígono regular tiene interior de 150°.

El giro exterior es 30°.
$n = \frac{360}{30} = 12$ lados.
$S = (12 - 2) 180 = 1800^{°}; \frac{1800}{12} = 150^{°}$ .

Error frecuente: Usar (n−2)180° como medida de un solo ángulo o aceptar un número no entero de lados.

Predice, cambia y comprueba

Elige una vista. Antes de mover el control, predice cuántos triángulos, diagonales o ejes aparecerán.

Número de ladosConstrucción

Pentágono regular: 3 triángulos, suma 540°, 5 diagonales y 5 ejes.

La vista de Varignon usa un cuadrilátero fijo. Las demás usan un polígono regular; no prueban propiedades de todos los polígonos por su apariencia.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Halla la suma interior de un polígono convexo de 5 lados, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 540

$S = (5 - 2) 180 = 540^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Halla la suma interior de un polígono convexo de 6 lados, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 720

$S = (6 - 2) 180 = 720^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Halla la suma interior de un polígono convexo de 7 lados, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 900

$S = (7 - 2) 180 = 900^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Halla el exterior de un polígono regular de 6 lados, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 60

$\frac{360}{6} = 60^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Halla el exterior de un polígono regular de 9 lados, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 40

$\frac{360}{9} = 40^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Halla el exterior de un polígono regular de 12 lados, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 30

$\frac{360}{12} = 30^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

En un cuadrilátero tres ángulos son 72°, 82° y 92°. Halla el cuarto, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 114

$360 - (72 + 82 + 92) = 114^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

En un cuadrilátero tres ángulos son 73°, 83° y 93°. Halla el cuarto, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 111

$360 - (73 + 83 + 93) = 111^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

En un cuadrilátero tres ángulos son 74°, 84° y 94°. Halla el cuarto, en grados.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 108

$360 - (74 + 84 + 94) = 108^{°}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Un polígono regular tiene ángulo exterior de 60°. ¿Cuántos lados tiene?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6

$n = \frac{360}{60} = 6$ .
Interior $= 180 - 60$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Un polígono regular tiene ángulo exterior de 40°. ¿Cuántos lados tiene?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9

$n = \frac{360}{40} = 9$ .
Interior $= 180 - 40$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Un polígono regular tiene ángulo exterior de 30°. ¿Cuántos lados tiene?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 12

$n = \frac{360}{30} = 12$ .
Interior $= 180 - 30$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Un polígono simple tiene suma interior de 1080°. Un alumno afirma que tiene 6 lados. Halla el número correcto.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 8

$n - 2 = 6$ .
$n = 8$ .
El alumno contó triángulos, no lados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Un polígono simple tiene suma interior de 1260°. Un alumno afirma que tiene 7 lados. Halla el número correcto.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9

$n - 2 = 7$ .
$n = 9$ .
El alumno contó triángulos, no lados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Un polígono simple tiene suma interior de 1440°. Un alumno afirma que tiene 8 lados. Halla el número correcto.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 10

$n - 2 = 8$ .
$n = 10$ .
El alumno contó triángulos, no lados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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