Antes de empezar: Coordenadas y comparación de números.
- Distinguir recta, rayo y segmento por sus extremos.
- Calcular longitudes sobre una recta.
- Separar lo que afirma un enunciado de lo que solo parece mostrar un dibujo.
Objetos ideales y sus representaciones
Un punto indica posición y no tiene tamaño. Una recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos; un rayo tiene origen y se prolonga en un sentido; un segmento tiene dos extremos. El trazo impreso siempre es finito: las flechas y los nombres indican qué objeto representa. Un plano es una superficie ideal sin espesor que se extiende en dos dimensiones.
Nombres, orden y medidas
El segmento AB es el mismo conjunto de puntos que BA. En cambio, el rayo con origen A que pasa por B no es el rayo con origen B que pasa por A. La distancia entre coordenadas a y b en una recta es . Una distancia nunca es negativa. Si B está entre A y C, entonces AB+BC=AC. Sin esa condición, no puedes sumar por el orden de las letras.
Qué determina una recta o un plano
Dos puntos distintos determinan una única recta. Tres puntos no alineados determinan un único plano en el espacio; tres alineados no. En geometría plana trabajaremos dentro de un mismo plano. Las marcas de igualdad, perpendicularidad o paralelismo expresan datos: un dibujo que «parece» tenerlos no los demuestra.
Ejemplos resueltos
Puntos en una recta
A tiene coordenada −3 y B tiene coordenada 5. Encuentra AB.
- AB=|5−(−3)|=8 unidades.
- Cambiar el orden da |−3−5|=8: la distancia se conserva.
- El desplazamiento orientado sí puede tener signo, pero no la longitud.
Sumar segmentos con una condición
B está entre A y C; AB=4 cm y AC=11 cm. Halla BC.
- AB+BC=AC porque B está entre los extremos.
- BC=11−4=7 cm.
- Comprueba 4+7=11; una suma sin la condición de orden no estaría justificada.
Un error que conviene detectar: Confundir un rayo con un segmento porque ambos se dibujan con una longitud finita. Observa origen, extremos y flechas.
Predice y explora
El esquema inicial muestra un caso resuelto. Cambia la configuración y anticipa el resultado. En las construcciones, retrocede al primer paso y avanza: la lista explica qué hace la regla o el compás. Los dibujos son modelos ideales; usa los datos declarados y no midas píxeles en la pantalla.
Antes de mostrar: predice qué relación o trazo debe aparecer y explica por qué.
| Elemento | Dato o justificación |
|---|---|
| Objeto | Segmento AB |
| Distancia AB | 10 unidades (dato, no lectura de escala) |
| Extremos del objeto | 2 |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un trazo une A y B, separados 2 cm, y termina en ambos. ¿Qué objeto representa?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Un segmento
- Tiene dos extremos; su longitud es finita.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un trazo une A y B, separados 3 cm, y termina en ambos. ¿Qué objeto representa?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Un segmento
- Tiene dos extremos; su longitud es finita.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un trazo une A y B, separados 4 cm, y termina en ambos. ¿Qué objeto representa?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Un segmento
- Tiene dos extremos; su longitud es finita.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
A=−2 y B=5 en una recta. Calcula AB en unidades.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 7
- AB=|5−(−2)|=7.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
A=−3 y B=6 en una recta. Calcula AB en unidades.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- AB=|6−(−3)|=9.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
A=−4 y B=7 en una recta. Calcula AB en unidades.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 11
- AB=|7−(−4)|=11.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
B está entre A y C. AB=4 cm y AC=11 cm. Calcula BC en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 7
- BC=AC−AB=11−4=7.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
B está entre A y C. AB=5 cm y AC=14 cm. Calcula BC en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- BC=AC−AB=14−5=9.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
B está entre A y C. AB=6 cm y AC=17 cm. Calcula BC en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 11
- BC=AC−AB=17−6=11.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Los puntos de una recta tienen coordenadas A=0, B=2, C=6. ¿Cuál es la coordenada del punto medio de AC?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Da la coordenada del punto medio; no tiene que ser uno de los puntos nombrados.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- La coordenada del punto medio es (0+6)/2=3.
- No es B: estar entre extremos no basta para ser el punto medio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Los puntos de una recta tienen coordenadas A=0, B=3, C=9. ¿Cuál es la coordenada del punto medio de AC?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Da la coordenada del punto medio; no tiene que ser uno de los puntos nombrados.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9/2
- La coordenada del punto medio es (0+9)/2=9/2.
- No es B: estar entre extremos no basta para ser el punto medio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Los puntos de una recta tienen coordenadas A=0, B=4, C=12. ¿Cuál es la coordenada del punto medio de AC?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Da la coordenada del punto medio; no tiene que ser uno de los puntos nombrados.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- La coordenada del punto medio es (0+12)/2=6.
- No es B: estar entre extremos no basta para ser el punto medio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
A=(0,0,0), B=(2,0,0), C=(4,0,0). ¿Determinan un único plano?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Están alineados sobre el eje x.
- Tanto el plano y=0 como el plano z=0 contienen los tres puntos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
A=(0,0,0), B=(3,0,0), C=(6,0,0). ¿Determinan un único plano?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Están alineados sobre el eje x.
- Tanto el plano y=0 como el plano z=0 contienen los tres puntos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(8,0,0). ¿Determinan un único plano?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Están alineados sobre el eje x.
- Tanto el plano y=0 como el plano z=0 contienen los tres puntos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Explica por qué AB y BA pueden nombrar el mismo segmento pero no el mismo rayo.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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