Extensión: polígonos regulares y herramientas clásicas.
Antes de empezar: Mediatriz, bisectriz, triángulos y círculos.
- Construir un triángulo equilátero y un cuadrado.
- Inscribir un hexágono regular usando el radio.
- Reconocer límites de las herramientas clásicas.
Triángulo equilátero y cuadrado
Para un triángulo equilátero sobre AB, usa radio AB con centros A y B. Una intersección de los círculos completa el tercer vértice. Para un cuadrado, construye perpendiculares por los extremos de un lado, transporta sobre ambas la longitud del lado hacia el mismo semiplano y une los nuevos puntos. Las igualdades y los ángulos rectos justifican la figura.
Seis lados a partir del radio
En un círculo, la cuerda que abarca un ángulo central de 60° tiene la longitud del radio: forma con dos radios un triángulo equilátero. Por eso puedes transportar el radio seis veces sobre la circunferencia para inscribir un hexágono regular. En un trazado físico hay error instrumental; cerrar aproximadamente la figura no reemplaza la justificación.
Construcción exacta y aproximación
En la construcción clásica se permiten una regla sin graduación y un compás ideales. Medir con transportador o regla graduada es útil, pero es otro procedimiento. No existe un método con esas herramientas clásicas que trisecte cualquier ángulo dado, aunque algunos ángulos particulares sí pueden trisecarse. Tampoco puede duplicarse exactamente un cubo dado mediante una construcción clásica de su nueva arista. Esta perspectiva es una extensión; no es necesario demostrar esas imposibilidades para completar el núcleo.
Ejemplos resueltos
Hexágono inscrito
Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio 4 cm. Calcula lado y perímetro.
- El hexágono se divide en seis triángulos equiláteros.
- Cada lado mide 4 cm.
- El perímetro vale 6·4=24 cm.
Cuadrado construido sobre un lado
Se construye un cuadrado sobre un segmento de 5 cm. Halla perímetro y área.
- Las perpendiculares y las longitudes transportadas producen cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
- P=4·5=20 cm.
- A=5²=25 cm²; no confundas unidades de longitud y superficie.
Un error que conviene detectar: Suponer que cualquier polígono regular se obtiene transportando el radio sobre el círculo. Ese procedimiento produce específicamente el hexágono.
Predice y explora
El esquema inicial muestra un caso resuelto. Cambia la configuración y anticipa el resultado. En las construcciones, retrocede al primer paso y avanza: la lista explica qué hace la regla o el compás. Los dibujos son modelos ideales; usa los datos declarados y no midas píxeles en la pantalla.
Antes de mostrar: predice qué relación o trazo debe aparecer y explica por qué.
Paso 7 de 7: Los tres lados son iguales; los ángulos miden 60°.
- Traza una base AB.
- Abre el compás con la longitud AB.
- Traza arcos desde A.
- Repite el mismo radio desde B.
- Elige una intersección C.
- Une los tres vértices.
- Los tres lados son iguales; los ángulos miden 60°.
| Elemento | Dato o justificación |
|---|---|
| Lados | 3 |
| Ángulo interior | 60° |
| Ángulo central del polígono regular | 120° |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un triángulo equilátero tiene lado 4 cm. Halla el perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- Suma tres lados iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un triángulo equilátero tiene lado 5 cm. Halla el perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Suma tres lados iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un triángulo equilátero tiene lado 6 cm. Halla el perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- Suma tres lados iguales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Construyes un cuadrado de lado 5 cm. Halla su área en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 25
- Multiplica lado por lado.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Construyes un cuadrado de lado 6 cm. Halla su área en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- Multiplica lado por lado.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Construyes un cuadrado de lado 7 cm. Halla su área en cm².
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 49
- Multiplica lado por lado.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio 2 cm. Halla su perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- El lado del hexágono regular inscrito es igual al radio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio 3 cm. Halla su perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- El lado del hexágono regular inscrito es igual al radio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio 4 cm. Halla su perímetro en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- El lado del hexágono regular inscrito es igual al radio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un hexágono regular inscrito tiene perímetro 24 cm. Calcula el radio del círculo en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Divide el perímetro entre 6; ese lado coincide con el radio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un hexágono regular inscrito tiene perímetro 36 cm. Calcula el radio del círculo en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Divide el perímetro entre 6; ese lado coincide con el radio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un hexágono regular inscrito tiene perímetro 48 cm. Calcula el radio del círculo en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- Divide el perímetro entre 6; ese lado coincide con el radio.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un alumno usa 2 mediciones con transportador y concluye que ha demostrado una construcción exacta con regla sin graduación y compás. ¿Es suficiente?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Las mediciones aproximadas pueden comprobar un trazado físico.
- La construcción clásica debe justificar las relaciones usando las herramientas permitidas, no solo lecturas de medida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un alumno usa 3 mediciones con transportador y concluye que ha demostrado una construcción exacta con regla sin graduación y compás. ¿Es suficiente?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Las mediciones aproximadas pueden comprobar un trazado físico.
- La construcción clásica debe justificar las relaciones usando las herramientas permitidas, no solo lecturas de medida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un alumno usa 4 mediciones con transportador y concluye que ha demostrado una construcción exacta con regla sin graduación y compás. ¿Es suficiente?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Las mediciones aproximadas pueden comprobar un trazado físico.
- La construcción clásica debe justificar las relaciones usando las herramientas permitidas, no solo lecturas de medida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Explica por qué seis cuerdas iguales al radio cierran un hexágono regular en la construcción ideal.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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