Diagnóstico: bloques y productos

Resuelve antes de consultar ayuda. En este bloque se revisan modelos, restricciones y procedimientos: compara tu respuesta con la solución modelo. Marcar una respuesta como revisada no equivale a una calificación automática.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

5 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Factoriza completamente sin expandir primero todos los productos. Identifica el bloque común.

(x + 5) (x + 1) + (x + 5) (x + 3)

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2(x+5)(x+2).

2 (x + 5) (x + 2)

El bloque x+5 multiplica ambos sumandos. Extraerlo es aplicar la distributiva en sentido inverso.
Queda $(x + 5) [(x + 1) + (x + 3)] = (x + 5) (2 x + 4)$ .
Extrae además el factor 2: 2(x+5)(x+2). La identidad también vale cuando $x + 5 = 0$ ; no has dividido una ecuación por ese bloque.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 2

Reconoce una diferencia de cuadrados cuyo primer cuadrado contiene un binomio completo.

{(x + 5)}^{2} - 36

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−1)(x+11).

(x - 1) (x + 11)

Toma $A = x + 5$ y $B = 6$ . La expresión es $A^{2} - B^{2}$ .
Usa $(A - B) (A + B) : (x + 5 - 6) (x + 5 + 6)$ .
Simplifica dentro de cada factor: (x−1)(x+11). Comprueba por distributiva. No sustituyas $A^{2}$ por $x^{2} + 25$ : falta el doble producto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 3

Factoriza como cuadrado perfecto. Justifica el término central usando el bloque completo.

{(x + 5)}^{2} + 12 (x + 5) + 36

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${(x + 11)}^{2}$ .

{(x + 11)}^{2}

Con $A = x + 5$ y $B = 6,$ el término central es 2AB $= 12 (x + 5)$ .
Aplica $A^{2} + 2$ AB $+ B^{2} = {(A + B)}^{2}$ .
Regresa $a x : {(x + 5 + 6)}^{2} = {(x + 11)}^{2}$ . Al expandir ambos lados coinciden los tres coeficientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 4

Usa una variable auxiliar para factorizar el trinomio. Entrega la respuesta en x, no en la variable auxiliar.

{(x + 5)}^{2} - 3 (x + 5) + 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(x + 5 - 1) (x + 5 - 2),$ simplificando cada factor.

(x + 4) (x + 3)

Llama $t = x + 5$ . Obtienes $t^{2} - 3 t + 2$ .
Busca dos números que sumen −3 y multipliquen 2: −1 y −2. Resulta (t−1)(t−2).
Reemplaza cada t por $x + 5 : (x + 5 - 1) (x + 5 - 2)$ . Simplifica y expande para comprobar. Cambiar el nombre del bloque no cambia el polinomio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 5

Desafío de preparatoria: resuelve en los reales mediante diferencia de cuadrados y recupera todas las soluciones en x.

{(x^{2} - 25)}^{2} - 36 = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Soluciones reales $: \pm \sqrt{31}, \pm \sqrt{19}$ .

x = \pm \sqrt{31} o x = \pm \sqrt{19}

Toma $A = x^{2} - 25$ . Factorizar $A^{2} - 36 = 0$ da $(A - 6) (A + 6) = 0$ .
El producto nulo exige $A = 6$ o $A = - 6$ . Por tanto $, x^{2} = 31$ o $x^{2} = 19$ .
Los dos valores son positivos. Cada uno da dos raíces reales opuestas; no olvides el signo negativo.
Comprueba: para cada raíz admitida $, x^{2} - 25$ vale 6 o −6; al cuadrar se obtiene 36.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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Taller 1 · Álgebra

Factorización por bloques: ver la estructura antes de expandir

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