Comprobar, encontrar un contraejemplo y demostrar

Una afirmación tiene un alcance

«Todos los números de esta lista son positivos» habla de un conjunto concreto que podrías revisar elemento por elemento. «Todos los enteros tienen cuadrado mayor que ellos mismos» habla de infinitos valores. El tipo de afirmación cambia lo que cuenta como justificación suficiente.

Antes de calcular, identifica las palabras todos, alguno, siempre, nunca y existe. También escribe el conjunto del que se habla: números naturales, enteros, reales positivos o entradas de una función.

Un contraejemplo basta para refutar un siempre

La afirmación «$x^2$ es mayor que x para todo real positivo» falla en $x=\frac{1}{2}$: su cuadrado es $\frac{1}{4}$. No importa que funcione para 2, 3 y 10. Un caso permitido que contradiga una afirmación universal basta para descartarla.

Ese contraejemplo no demuestra que el cuadrado siempre sea menor. La conclusión correcta es más limitada: la afirmación original no vale para todos los positivos. Investigar cuándo sí vale exige otro argumento.

Corregir la afirmación

Para decidir cuándo $x^2$ > x, restamos x: x($x-1$) > 0. El producto es positivo si ambos factores son positivos, lo que da x > 1, o ambos negativos, lo que da x < 0. En $x=0$ y $x=1$ hay igualdad.

Así reemplazamos una generalización equivocada por una descripción con condiciones. Si el dominio se restringe a positivos, queda solamente x > 1.

Una comprobación útil tiene una función concreta

Sustituir una solución en la ecuación original verifica ese candidato. Expandir una factorización muestra una identidad mediante reglas algebraicas. Probar unas entradas de un programa aporta evidencia sobre esas entradas, sin certificar todos los casos posibles.

Escoge la revisión según la pregunta. Para una fórmula general, explora ceros, negativos y extremos admitidos; para una solución particular, comprueba las condiciones del enunciado y las operaciones originales.

Practica la distinción

Analiza «dos rectángulos de igual perímetro tienen igual área». Usa $2\times 6$ y $3\times 5$: ambos tienen perímetro 16, pero áreas 12 y 15. Eso refuta la afirmación. Después intenta una verdadera: «si duplicamos ambos lados de cualquier rectángulo, el área se cuadruplica». Con lados a y b, el área nueva es (2a)(2b) = 4ab: el álgebra justifica todos los casos del modelo.