Factor común: leer una expresión como producto

Comprende la idea

Antes de empezar: Operaciones con enteros, potencias y expresiones algebraicas.

La propiedad distributiva relaciona productos y sumas: a( $b + c$ ) = ab + ac. Expandir transforma un producto en suma; factorizar hace el recorrido inverso. No se cambia el valor de la expresión, solo su forma.

Reconocer lo que se repite

En $6 x + 9$ ambos términos contienen el factor 3: $6 x + 9 = 3$ ( $2 x + 3$ ). En $6 x^{2} + 9 x$ , además aparece x en los dos términos: 3x( $2 x + 3$ ). Cada término dentro del paréntesis debe recuperar al original cuando se multiplica por el factor extraído.

Para buscar el mayor factor monomial común, compara los coeficientes y el menor exponente presente de cada variable. Extraer un factor común menor puede ser correcto, aunque todavía deje factores comunes dentro.

La forma factorizada revela soluciones

En 3x( $2 x + 3$ ) = 0, un producto real es cero si al menos uno de sus factores lo es. Entonces $x = 0$ o x = − $\frac{3}{2}$ . Dividir de entrada entre x eliminaría la posibilidad $x = 0$ ; por eso conviene conservar los factores.

Cancelar productos, no sumandos

La razón ( $6 x + 9$ )/3 se simplifica a $2 x + 3$ porque todo el numerador tiene factor 3. No puedes cancelar la x de ( $x + 2$ )/x y dejar 2: la suma completa no tiene ese factor.

¿Cómo compruebo una factorización?

Distribuye cada factor. En 2x( $x - 4$ ), el resultado es $2 x^{2} - 8 x$ . Si no coincide término a término, la factorización es incorrecta.

a b + a c = a (b + c)

Vamos con un ejemplo

Resuelto paso a paso

Factoriza $12 x^{3} - 8 x^{2}$ . El MCD de 12 y 8 es 4; la menor potencia de x es $x^{2}$ . Extraemos $4 x^{2}$ : queda $4 x^{2} (3 x - 2)$ . Comprobación: $4 x^{2} \times 3 x = 12 x^{3}$ y $4 x^{2} \times (- 2) = - 8 x^{2}$ .

Conecta y aplica

En cálculos de límites, factorizar puede revelar un factor que se cancela para valores distintos del punto problemático. La expresión simplificada coincide allí donde estaba permitido dividir; la cancelación no borra las restricciones originales.

Un detalle que importa: Al extraer un signo negativo, cambian los signos de todos los términos del paréntesis: − $2 x - 6$ = −2( $x + 3$ ).

Ponlo a prueba

¿Qué factorización corresponde a $10 x^{2} + 15 x$ ?

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