Desigualdades: encontrar un conjunto de soluciones

Comprende la idea

Antes de empezar: Ecuaciones lineales y orden de los números reales.

Una ecuación busca valores que hagan iguales dos expresiones. Una desigualdad compara cuál es mayor o menor y puede admitir todo un intervalo. En $x+2$ < 5, las soluciones son todos los reales menores que 3.

Transformaciones que conservan el orden

Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados mantiene el sentido. Multiplicar o dividir por un número positivo también. Con un número negativo, el orden se invierte: de 2 < 5 se obtiene −2 > −5 al multiplicar por −1. En la recta numérica esta operación refleja posiciones respecto al cero.

Resolver y describir

En −$2x+1\le 7$, resta 1: −$2x\le 6$. Al dividir entre −2 debes invertir el signo y queda x ≥ −3. El extremo −3 está incluido porque la relación permite igualdad. Escribimos el intervalo [−3, ∞); el infinito nunca representa un extremo que pueda incluirse.

Una desigualdad estricta usa un extremo abierto. Por ejemplo, x < 3 corresponde a (−∞, 3). Si además el contexto exige cantidades enteras o no negativas, intersecta el conjunto algebraico con ese dominio.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Con presupuesto de $100, una cuota de $20 y $15 por actividad, $20+15n\le 100$ lleva a $n\le \frac{16}{3}$. Si n cuenta actividades completas no negativas, el máximo es 5, no 5.33 actividades.

Un detalle que importa: Comprobar un valor sirve para detectar errores, pero no demuestra que todo el intervalo sea correcto. Esa justificación la dan las transformaciones válidas de la desigualdad.