Optimización: justificar un máximo con un modelo

Comprende la idea

Antes de empezar: Áreas, funciones cuadráticas, desigualdades y derivadas.

Optimizar consiste en encontrar el mejor valor de una magnitud dentro de las condiciones permitidas. Antes de derivar, identifica qué deseas maximizar o minimizar y qué restricciones relacionan las variables.

Del enunciado a una variable

Para un rectángulo de perímetro 20 m, si un lado mide x, el otro mide $10-x$. Su área es A(x) = x($10-x$) = $10x-x^2$. Para un rectángulo con lados positivos, el dominio es 0 < x < 10.

Candidatos y justificación

A′(x) = $10-2x$ se anula en $x=5$. Ese punto es candidato; por sí solo, que la derivada sea cero no garantiza un máximo. Aquí la derivada es positiva antes de 5 y negativa después: el área crece y luego decrece.

También A(x) = 25 − ($x-5$)². Como el cuadrado nunca es negativo, el área no supera 25 $m^2$ y alcanza ese valor cuando $x=5$. Este argumento comprueba el máximo global del modelo.

Mirar los extremos y el contexto

En un intervalo cerrado, una función continua alcanza sus extremos; revisa los extremos del intervalo además de los puntos críticos. En este ejemplo los rectángulos degenerados de lados cero no se admiten, pero el área se acerca a cero al aproximarse a esos límites.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Comprueba unidades en cada etapa: perímetro en metros, área en metros cuadrados y derivada del área respecto a un lado en metros. Una restricción mal escrita no se arregla con una derivada correcta.

Un detalle que importa: No concluyas que f′ = 0 siempre produce máximo o mínimo: $f\left(x\right)=x^3$ tiene derivada cero en 0, pero sigue creciendo a ambos lados.