Derivadas y decisiones de optimización

Antes de empezar

Identifica primero suma, producto o composición. Al optimizar, escribe dominio y razón por la que el candidato es máximo o mínimo.

Deriva $f (x) = 5 x^{4} - 3 x^{2} + 8$ .
Deriva $f (x) = (x^{2} + 2) (x - 1)$ .
Deriva $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ e indica la restricción.
Deriva $y = (3 x - 2)^{5}$ .
Un rectángulo de lados positivos tiene perímetro 28 m. Encuentra su área máxima.
Para $f (x) = x^{3}$ , $f^{'} (0) = 0$ . ¿Hay máximo o mínimo local en 0?

Consultar soluciones y procedimientos

$f^{'} (x) = 20 x^{3} - 6 x$ . La constante 8 deriva a cero.
Producto: $2 x (x - 1) + (x^{2} + 2) = 3 x^{2} - 2 x + 2$ . Al expandir primero $f = x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ se obtiene la misma derivada.
$f^{'} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^{2}} = - \frac{2}{(x - 1)^{2}}$ , con x ≠ 1. La restricción viene del denominador original.
Cadena: $5 (3 x - 2)^{4} \times 3 = 15 (3 x - 2)^{4}$ . El factor interior 3 no debe omitirse.
Los lados son x y $14 - x$ , con 0 < x < 14. $A = 14 x - x^{2} = 49 - (x - 7)^{2}$ . El máximo es 49 $m^{2}$ , con lados de 7 m. La forma de cuadrado completado justifica el máximo global.
No. Para x negativo cercano a 0, f es negativa; para x positivo, es positiva y sigue creciendo. Una derivada cero es una condición candidata, no una clasificación suficiente.

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