Regla de la cadena: derivar una función dentro de otra

Comprende la idea

Antes de empezar: Reglas de derivación y composición básica de funciones.

Una función compuesta aplica una regla al resultado de otra. En y = ($3x+1$)², primero se calcula $u=3x+1$ y después $y=u^2$. La tasa de cambio de y respecto a x depende de las dos etapas.

Exterior por interior

La regla de la cadena dice que [f(g(x))]′ = f′(g(x))g′(x), cuando las derivadas necesarias existen. Primero deriva la función exterior conservando la entrada interior; después multiplica por la derivada de esa entrada.

En ($3x+1$)², la derivada exterior es 2($3x+1$) y la interior es 3. El resultado es 6($3x+1$). Olvidar el factor 3 equivale a ignorar que la entrada de la función exterior cambia tres veces más rápido que x.

Una segunda forma de comprobar

Podemos expandir ($3x+1$)² = $9x^2+6x+1$. Su derivada es $18x+6$, igual a 6($3x+1$). Para potencias grandes, expandir resulta poco práctico; la cadena evita ese trabajo.

Más capas

En ($1+x^2$)³, la función interior ya contiene una potencia: la derivada es 3($1+x^2$)² · 2x. Cada capa aporta su factor. El orden de cálculo debe mantener clara la entrada de cada función.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

En modelos que convierten primero una variable y después calculan una salida, la regla de la cadena conecta ambas tasas. Si una magnitud depende de temperatura y la temperatura del tiempo, su tasa temporal necesita los dos cambios.

Un detalle que importa: No derives también la entrada dentro del argumento al sustituir: la expresión f′(g(x)) conserva g(x), y g′(x) aparece como factor adicional.