Antes de empezar: Sucesiones aritméticas y áreas rectangulares.
- Distinguir el término aₙ de la suma Sₙ.
- Justificar la suma 1+2+…+n.
- Aplicar la suma aritmética y verificar la interpretación.
Un término no es un total
Si las filas de un auditorio tienen 10,12,14 asientos, la tercera fila tiene 14 y las tres juntas tienen 36. Escribimos aₙ para una fila y Sₙ para la suma de las primeras n. Antes de usar una fórmula, decide cuál de las dos cantidades solicita el problema.
Emparejar extremos
En 1+2+…+n, el primero y el último suman n+1; el segundo y el penúltimo también. Escribir la suma en ambos órdenes produce n parejas de valor n+1, pero cuenta el total dos veces. Por tanto . La justificación funciona también para n impar: no es necesario forzar parejas disjuntas.
Una suma más general
En una sucesión aritmética, las parejas de extremos suman a₁+aₙ. Entonces . Esta fórmula no vale para cualquier sucesión. El modelo visual de una escalera de cuadrados muestra por qué dos copias completan un rectángulo.
Ejemplos resueltos
Las primeras cien cantidades
Calcula 1+2+…+100.
- Al escribir la suma de ida y vuelta aparecen 100 parejas de valor 101.
- Dos veces el total es 10100.
- S₁₀₀=5050. No confundir con a₁₀₀=100.
Filas de un auditorio
Hay 8 filas; la primera tiene 12 asientos y cada fila añade 2. Encuentra el total.
- a₈=12+7·2=26.
- S₈=8(12+26)/2=152.
- Comprobar con 12+14+16+18+20+22+24+26 da el mismo total.
Un error que conviene detectar: Aplicar la fórmula aritmética a una sucesión geométrica. Primero verifica que la diferencia sea constante.
Predice y explora
El modelo inicial se ve abajo. Con los controles puedes cambiar los datos, escribir una predicción y contrastarla con la tabla y el dibujo. Las escalas se ajustan a cada caso: compara los valores de los ejes.
Antes de mostrar: predice el término o total para n=5 y explica la regla.
| n | Término | Suma hasta n |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 6 |
| 4 | 4 | 10 |
| 5 | 5 | 15 |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
En la sucesión 1,2,…,5, ¿cuál es el último término?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Se pide un término, no la suma.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
En la sucesión 1,2,…,6, ¿cuál es el último término?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Se pide un término, no la suma.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
En la sucesión 1,2,…,7, ¿cuál es el último término?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 7
- Se pide un término, no la suma.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Calcula 1+2+…+6.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 21
- Usa n(n+1)/2 con n=6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Calcula 1+2+…+7.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 28
- Usa n(n+1)/2 con n=7.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Calcula 1+2+…+8.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 36
- Usa n(n+1)/2 con n=8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Calcula la suma de los primeros 5 términos de aₙ=2+2(n−1).
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 30
- a₅=10.
- S₅=5(2+10)/2=30.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Calcula la suma de los primeros 5 términos de aₙ=3+2(n−1).
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 35
- a₅=11.
- S₅=5(3+11)/2=35.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Calcula la suma de los primeros 5 términos de aₙ=4+2(n−1).
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 40
- a₅=12.
- S₅=5(4+12)/2=40.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un auditorio tiene 5 filas: la primera tiene 10 asientos y cada fila añade 2. Calcula el total.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 70
- La última tiene 18 asientos.
- Total=5·(10+18)/2=70.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un auditorio tiene 6 filas: la primera tiene 10 asientos y cada fila añade 2. Calcula el total.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 90
- La última tiene 20 asientos.
- Total=6·(10+20)/2=90.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un auditorio tiene 7 filas: la primera tiene 10 asientos y cada fila añade 2. Calcula el total.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 112
- La última tiene 22 asientos.
- Total=7·(10+22)/2=112.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Para sumar 1+2+…+5, alguien dice que el método de parejas falla por haber un número impar de términos. ¿Es cierto?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Escribe dos copias en orden opuesto.
- Hay 5 columnas que suman 6; divide el total entre 2.
- La suma vale 15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Para sumar 1+2+…+7, alguien dice que el método de parejas falla por haber un número impar de términos. ¿Es cierto?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Escribe dos copias en orden opuesto.
- Hay 7 columnas que suman 8; divide el total entre 2.
- La suma vale 28.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Para sumar 1+2+…+9, alguien dice que el método de parejas falla por haber un número impar de términos. ¿Es cierto?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Escribe dos copias en orden opuesto.
- Hay 9 columnas que suman 10; divide el total entre 2.
- La suma vale 45.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Justifica la fórmula de la suma sin depender de recordar de memoria una expresión.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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