Extensión: recurrencias y segundas diferencias.
Antes de empezar: Sucesiones, sumas y cuadrados; se recomienda completar las lecciones anteriores.
- Usar una recurrencia junto con sus valores iniciales.
- Construir tablas de primeras y segundas diferencias.
- Distinguir evidencia de una lista y una regla definida para todas las posiciones.
Una regla que mira hacia atrás
Una descripción recursiva obtiene cada término a partir de anteriores. Fibonacci puede definirse con F₁=1, F₂=1 y para n≥3. Los valores iniciales son parte de la definición: la misma recurrencia con otro inicio produce otra sucesión.
Cuando cambia la diferencia
En 1,4,9,16,25 las primeras diferencias son 3,5,7,9 y las segundas son 2,2,2. La regla aₙ=n² explica el patrón. Para una regla cuadrática aₙ=An²+Bn+C y posiciones equidistantes, la segunda diferencia es 2A. En esta extensión trabajamos con posiciones consecutivas n=1,2,… .
Justificar y delimitar
Unas pocas segundas diferencias iguales sugieren un modelo cuadrático, pero una lista finita no prueba que ese modelo continúe siempre. Si el problema declara la regla o que las segundas diferencias se mantienen constantes, sí puedes usar esa condición para prolongar la tabla. Esta lección amplía el núcleo de la unidad; puedes volver a ella después de dominar las sucesiones aritméticas y geométricas.
Ejemplos resueltos
Fibonacci desde el inicio
Con F₁=F₂=1, calcula hasta F₇.
- Suma los dos anteriores: 1,1,2,3,5,8,13.
- F₇=13.
- No uses solo el término anterior: la recurrencia necesita dos valores.
Reconstruir una tabla
La lista 2,5,10,17 mantiene segundas diferencias iguales a 2. Halla el quinto término.
- Primeras diferencias: 3,5,7.
- La siguiente primera diferencia debe ser 9.
- El quinto término es 17+9=26; corresponde a la regla n²+1.
Un error que conviene detectar: Omitir los valores iniciales de una recurrencia, o suponer que cualquier lista de cuatro números demuestra una regla infinita.
Predice y explora
El modelo inicial se ve abajo. Con los controles puedes cambiar los datos, escribir una predicción y contrastarla con la tabla y el dibujo. Las escalas se ajustan a cada caso: compara los valores de los ejes.
Antes de mostrar: predice el término o total para n=5 y explica la regla.
| n | Valor |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| 5 | 5 |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
a₁=2 y aₙ=aₙ₋₁+2 para n≥2. Calcula a₃.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Aplica la regla dos veces desde el primer término.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
a₁=3 y aₙ=aₙ₋₁+2 para n≥2. Calcula a₃.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 7
- Aplica la regla dos veces desde el primer término.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
a₁=4 y aₙ=aₙ₋₁+2 para n≥2. Calcula a₃.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- Aplica la regla dos veces desde el primer término.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
a₁=2, a₂=3; cada término posterior es la suma de los dos anteriores. Calcula a₄.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- a₃=5; a₄=3+5=8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
a₁=3, a₂=4; cada término posterior es la suma de los dos anteriores. Calcula a₄.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 11
- a₃=7; a₄=4+7=11.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
a₁=4, a₂=5; cada término posterior es la suma de los dos anteriores. Calcula a₄.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 14
- a₃=9; a₄=5+9=14.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Calcula las primeras y segundas diferencias de 3, 6, 11, 18.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Primeras: 3,5,7; segundas: 2,2
- Resta vecinos; vuelve a restar en la fila de diferencias.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Calcula las primeras y segundas diferencias de 4, 7, 12, 19.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Primeras: 3,5,7; segundas: 2,2
- Resta vecinos; vuelve a restar en la fila de diferencias.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Calcula las primeras y segundas diferencias de 5, 8, 13, 20.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Primeras: 3,5,7; segundas: 2,2
- Resta vecinos; vuelve a restar en la fila de diferencias.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Una construcción tiene n²+2 piezas en la etapa n. ¿Cuántas piezas se añaden al pasar de la etapa 8 a la 9?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 17
- (81+2)−(64+2)=17.
- El término constante se cancela.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Una construcción tiene n²+3 piezas en la etapa n. ¿Cuántas piezas se añaden al pasar de la etapa 8 a la 9?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 17
- (81+3)−(64+3)=17.
- El término constante se cancela.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Una construcción tiene n²+4 piezas en la etapa n. ¿Cuántas piezas se añaden al pasar de la etapa 8 a la 9?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 17
- (81+4)−(64+4)=17.
- El término constante se cancela.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Dos sucesiones cumplen aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Una empieza (2,2) y otra (2,3). ¿Son la misma? Justifica con el tercer término.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Los terceros términos son 4 y 5.
- La recurrencia sin valores iniciales no determina una sucesión única.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Dos sucesiones cumplen aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Una empieza (3,3) y otra (3,4). ¿Son la misma? Justifica con el tercer término.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Los terceros términos son 6 y 7.
- La recurrencia sin valores iniciales no determina una sucesión única.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Dos sucesiones cumplen aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Una empieza (4,4) y otra (4,5). ¿Son la misma? Justifica con el tercer término.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Los terceros términos son 8 y 9.
- La recurrencia sin valores iniciales no determina una sucesión única.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Explica qué diferencia hay entre una fórmula explícita y una recurrencia, y qué datos requiere cada una.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
¿Necesitas ayuda con este tema?
Trabájalo paso a paso con un profesor de EATRYL. Consulta disponibilidad y costo para reforzar Más allá del cambio constante: recurrencias y diferencias.
Consultar una clase sobre este tema