Antes de empezar: Pares ordenados, funciones y división con signos.
- Calcular m como cambio vertical dividido entre cambio horizontal.
- Interpretar b en x=0.
- Distinguir una relación afín de una proporcionalidad directa.
Dos cantidades diferentes
En , m mide cuánto cambia y por cada unidad que aumenta x, y b es el valor de y cuando x=0. Si m es negativa, la recta desciende al avanzar a la derecha; si m=0, es horizontal. Usaremos «modelo lineal» en el sentido escolar amplio; cuando b no es cero también se llama función afín.
Calcular la pendiente
Para dos puntos con abscisas distintas, . Debes restar en el mismo orden arriba y abajo. La pendiente depende de las escalas y unidades de los ejes, no de cuánto parece inclinarse el dibujo. Una recta vertical tiene denominador cero, no pendiente cero, y no es la gráfica de una función y=f(x).
Cuándo hay proporcionalidad directa
La relación y=mx es proporcionalidad directa: pasa por el origen y conserva y/x=m para x≠0. Un cargo fijo b distinto de cero impide esa proporcionalidad. Por ejemplo, un servicio que cobra 20 pesos más 5 por unidad no duplica necesariamente su costo total cuando se duplica la cantidad.
Ejemplos resueltos
De dos puntos a la fórmula
Encuentra la recta por (1,5) y (4,11).
- m=(11−5)/(4−1)=6/3=2.
- En 5=2·1+b, resulta b=3.
- La ecuación y=2x+3 produce los dos puntos; no es proporcionalidad directa.
Una recta horizontal y una vertical
Compara y=4 con x=4.
- y=4 tiene pendiente 0: cada entrada x posee la salida 4.
- x=4 es vertical y admite muchas alturas para la misma abscisa.
- No se debe calcular una pendiente dividiendo entre cero.
Un error que conviene detectar: Confundir pendiente con ordenada inicial, o decir que toda recta representa proporcionalidad directa. Comprueba qué ocurre en x=0.
Predice y explora
El modelo inicial se ve abajo. Con los controles puedes cambiar los datos, escribir una predicción y contrastarla con la tabla y el dibujo. Las escalas se ajustan a cada caso: compara los valores de los ejes.
Antes de mostrar: anticipa las salidas o describe los tramos y justifica tu predicción.
| Entrada x | Salida y |
|---|---|
| -5 | -9 |
| -4 | -7 |
| -3 | -5 |
| -2 | -3 |
| -1 | -1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
| 4 | 9 |
| 5 | 11 |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
En y=2x+7, ¿cuál es la pendiente?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- El coeficiente que multiplica x es m.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
En y=3x+7, ¿cuál es la pendiente?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- El coeficiente que multiplica x es m.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
En y=4x+7, ¿cuál es la pendiente?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- El coeficiente que multiplica x es m.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
En y=−2x+2, ¿cuánto vale y cuando x=0?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- La ordenada al origen es b, el término constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
En y=−2x+3, ¿cuánto vale y cuando x=0?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- La ordenada al origen es b, el término constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
En y=−2x+4, ¿cuánto vale y cuando x=0?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- La ordenada al origen es b, el término constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Calcula la pendiente entre (1,4) y (4,10).
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Δy=6; Δx=3; m=2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Calcula la pendiente entre (1,5) y (4,14).
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Δy=9; Δx=3; m=3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Calcula la pendiente entre (1,6) y (4,18).
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Δy=12; Δx=3; m=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un servicio cobra 20 pesos fijos más 4 por hora. ¿Cuánto cuesta usarlo 6 horas?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 44
- C(h)=20+4h.
- C(6)=20+24=44.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un servicio cobra 30 pesos fijos más 4 por hora. ¿Cuánto cuesta usarlo 6 horas?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 54
- C(h)=30+4h.
- C(6)=30+24=54.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un servicio cobra 40 pesos fijos más 4 por hora. ¿Cuánto cuesta usarlo 6 horas?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 64
- C(h)=40+4h.
- C(6)=40+24=64.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
¿y=2x+3 es proporcionalidad directa? Justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- En x=0 produce 3 y no 0.
- Para x≠0, y/x=2+3/x no es constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
¿y=3x+3 es proporcionalidad directa? Justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- En x=0 produce 3 y no 0.
- Para x≠0, y/x=3+3/x no es constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
¿y=4x+3 es proporcionalidad directa? Justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- En x=0 produce 3 y no 0.
- Para x≠0, y/x=4+3/x no es constante.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Inventa dos tarifas con la misma pendiente y distinto cargo fijo; explica cómo se verían sus gráficas.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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