Antes de empezar: Mediatriz y relaciones angulares.
- Construir la bisectriz interior de un ángulo.
- Trazar perpendiculares por un punto de la recta o exterior.
- Construir una paralela mediante dos perpendiculares.
Bisecar una abertura
Con centro en el vértice O, traza un arco que corte ambos lados en A y B. Usa ahora el mismo radio desde A y B para producir una intersección C dentro del ángulo. El rayo OC divide el ángulo en dos partes iguales. Los triángulos OAC y OBC tienen OA=OB, AC=BC y OC común; esa congruencia justifica la igualdad de los ángulos en O.
Construir una perpendicular
Si P pertenece a una recta, marca A y B sobre ella a igual distancia de P y construye la mediatriz de AB: pasa por P y es perpendicular. Si P es exterior, un círculo de centro P y radio suficientemente grande corta la recta en A y B. Como PA=PB, P está en su mediatriz. Construir esa mediatriz da la perpendicular por P. Una tangencia de un único punto no basta para este procedimiento.
Una paralela con dos giros rectos
Para trazar una paralela a r por un punto exterior P, construye la perpendicular s a r que pasa por P. Después construye por P la perpendicular a s. Esa segunda recta es paralela a r en el plano euclidiano. Declara que trabajas en el mismo plano: en el espacio, dos rectas perpendiculares a una tercera no tienen por qué ser paralelas.
Ejemplos resueltos
Dividir un ángulo
La bisectriz interior divide un ángulo de 74°. ¿Cuánto mide cada parte?
- La definición exige dos partes iguales.
- 74/2=37° por parte.
- Comprueba que ambas medidas suman la abertura original.
Revisar una construcción
Se eligen A y B sobre los lados de un ángulo, pero OA≠OB. ¿Los arcos iguales desde A y B garantizan la bisectriz?
- No: falta una de las igualdades necesarias entre los triángulos.
- Primero marca A y B con un mismo arco centrado en O.
- La equidistancia de C a A y B, por sí sola, construye una mediatriz de AB, no necesariamente la bisectriz de O.
Un error que conviene detectar: Confundir bisectriz y mediatriz: una divide un ángulo; la otra es perpendicular a un segmento en su punto medio.
Predice y explora
El esquema inicial muestra un caso resuelto. Cambia la configuración y anticipa el resultado. En las construcciones, retrocede al primer paso y avanza: la lista explica qué hace la regla o el compás. Los dibujos son modelos ideales; usa los datos declarados y no midas píxeles en la pantalla.
Antes de mostrar: predice qué relación o trazo debe aparecer y explica por qué.
Paso 7 de 7: Justifica con los tres lados iguales de OAC y OBC.
- Traza el ángulo de vértice O.
- Un mismo arco desde O corta los lados en A y B.
- Marca A y B; OA y OB son iguales.
- Traza arcos de igual radio desde A y B.
- Marca su intersección C dentro del ángulo.
- Une O con C: aparece la bisectriz interior.
- Justifica con los tres lados iguales de OAC y OBC.
| Elemento | Dato o justificación |
|---|---|
| Ángulo completo | 60° |
| Cada mitad | 30° |
| Justificación | Congruencia por tres lados iguales |
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Avanza desde reconocer la idea hasta aplicarla y justificarla. Las respuestas numéricas tienen comprobación exacta; las abiertas se contrastan con un modelo y se revisan por ti.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Una bisectriz divide un ángulo de 20°. ¿Cuánto mide cada parte?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Divide la abertura entre dos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Una bisectriz divide un ángulo de 30°. ¿Cuánto mide cada parte?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Divide la abertura entre dos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Una bisectriz divide un ángulo de 40°. ¿Cuánto mide cada parte?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Divide la abertura entre dos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Un ángulo recto se divide en dos partes. Una mide 20°. ¿Cuánto mide la otra?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 70
- Las dos partes completan 90°; resta la medida conocida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Un ángulo recto se divide en dos partes. Una mide 30°. ¿Cuánto mide la otra?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 60
- Las dos partes completan 90°; resta la medida conocida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Un ángulo recto se divide en dos partes. Una mide 40°. ¿Cuánto mide la otra?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 50
- Las dos partes completan 90°; resta la medida conocida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Una mitad determinada por la bisectriz mide 8°. Calcula el ángulo completo.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- Multiplica la mitad por 2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Una mitad determinada por la bisectriz mide 11°. Calcula el ángulo completo.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 22
- Multiplica la mitad por 2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Una mitad determinada por la bisectriz mide 14°. Calcula el ángulo completo.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 28
- Multiplica la mitad por 2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
En un plano, r es perpendicular a s y t es perpendicular a s por un punto situado a 2 cm de r. ¿Qué relación tienen r y t?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Son paralelas distintas
- En el mismo plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
- La separación positiva garantiza que no son la misma recta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
En un plano, r es perpendicular a s y t es perpendicular a s por un punto situado a 3 cm de r. ¿Qué relación tienen r y t?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Son paralelas distintas
- En el mismo plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
- La separación positiva garantiza que no son la misma recta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
En un plano, r es perpendicular a s y t es perpendicular a s por un punto situado a 4 cm de r. ¿Qué relación tienen r y t?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Son paralelas distintas
- En el mismo plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
- La separación positiva garantiza que no son la misma recta.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Al construir una bisectriz se marca OA=2 cm y OB=3 cm. ¿Puedes aplicar la justificación de tres lados iguales a los triángulos OAC y OBC?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; OA y OB no son iguales
- Es necesario conservar la misma distancia desde el vértice a ambos lados.
- Repite ese paso con un arco centrado en O.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Al construir una bisectriz se marca OA=3 cm y OB=4 cm. ¿Puedes aplicar la justificación de tres lados iguales a los triángulos OAC y OBC?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; OA y OB no son iguales
- Es necesario conservar la misma distancia desde el vértice a ambos lados.
- Repite ese paso con un arco centrado en O.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Al construir una bisectriz se marca OA=4 cm y OB=5 cm. ¿Puedes aplicar la justificación de tres lados iguales a los triángulos OAC y OBC?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; OA y OB no son iguales
- Es necesario conservar la misma distancia desde el vértice a ambos lados.
- Repite ese paso con un arco centrado en O.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explícalo con tus palabras
Explica qué igualdades usarías para justificar la bisectriz sin medir los ángulos con transportador.
Responde en tu cuaderno. Comprueba que mencionas la regla, las condiciones y al menos una forma de verificarla.
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