Multiplicar: tomar una parte y cambiar la escala

Multiplicar también significa tomar una parte

Tienes $\frac{3}{4}$ de litro y utilizas $\frac{2}{3}$ de esa cantidad. La segunda fracción se refiere a lo que tienes, no a un litro completo. Divide los tres cuartos de litro en tres porciones iguales: cada porción es un cuarto de litro. Al tomar dos, utilizas medio litro.

La cantidad inicial es tres cuartos de litro; el factor dos tercios indica qué parte se toma. El resultado sigue midiéndose en litros porque el factor no tiene una unidad física. Este razonamiento da sentido a la operación antes de aplicar una regla.

Una cuadrícula explica numeradores y denominadores

Dibuja un rectángulo que represente una unidad. Divídelo en 4 columnas y 3 filas iguales: hay 12 celdas de la misma área. Selecciona 3 de las 4 columnas; después toma 2 de las 3 filas de esa región. La intersección contiene 6 celdas de las 12 de la unidad.

Las 6 celdas proceden de 2 × 3 y las 12 celdas de la unidad proceden de 3 × 4. De ahí la regla: multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Los denominadores deben ser distintos de cero. No se necesita denominador común para multiplicar: la cuadrícula crea una nueva partición.

El área es un modelo del número. Si ambas medidas fueran longitudes y se calculara un área real, el resultado tendría unidades cuadradas; eso es un contexto distinto de tomar una fracción de un litro.

Predice el tamaño antes de calcular

Para una cantidad inicial positiva, observa el factor:

• Entre 0 y 1: tomas una parte de la cantidad; el resultado disminuye.
• Igual a 1: conservas la cantidad.
• Mayor que 1: tomas más de una copia de la cantidad; el resultado aumenta.
• Igual a 0: no tomas nada; el resultado es cero.

Por ejemplo, ampliar una longitud de cuatro quintos de metro con factor tres medios produce:

Tres medios es una copia y media. El resultado supera cuatro quintos, como habíamos anticipado. Si la cantidad inicial es cero, cualquier factor de esta lección da cero. La regla «multiplicar siempre aumenta» falla, por ejemplo, con la mitad de ocho: el resultado es cuatro.

Simplificar factores sin cambiar el valor

Resolvamos tres quintos por diez novenos. Puedes calcular primero y simplificar después:

También puedes simplificar antes. En el numerador completo hay un factor 10 y en el denominador uno 5: dividir ambos entre 5 conserva el valor. Después divide el factor 3 de arriba y el 9 de abajo entre 3:

No se «borran» números: se dividen factores de numerador y denominador por el mismo divisor. En una suma no puedes cancelar un sumando con un denominador. Por ejemplo, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ se resuelve con partes comunes y da cinco sextos.

Enteros y mixtos también pueden ser factores

Un entero puede escribirse con denominador uno. Para obtener tres cuartos de ocho unidades:

Convierte un mixto a fracción impropia antes de multiplicar. Un entero y medio representa tres medios, no el producto de uno por un medio:

También puedes comprobarlo repartiendo un entero y medio en tres partes de un medio y tomando dos: obtienes una unidad. Dos caminos coherentes deben dar la misma cantidad.

Problema resuelto: una parte de lo disponible

Hay dos tercios de kilogramo de harina. Se usan tres cuartos de la harina disponible. ¿Cuánta se utiliza?

1. Referencia inicial: dos tercios de kilogramo.
2. Relación: se toma una parte de esa cantidad, así que se multiplica.
3. Cálculo: tres cuartos por dos tercios es seis doceavos, equivalente a medio kilogramo.
4. Comprobación: medio kilogramo es menor que dos tercios; quedan un sexto de kilogramo y ambas cantidades reconstruyen los dos tercios iniciales.

Escribir «tres cuartos de kilogramo» como respuesta ignoraría la referencia: estarías usando más harina de la que había. Identifica siempre de qué cantidad se toma la fracción.

Antes de pasar a la práctica

Explica qué representa cada factor, anticipa el tamaño del resultado y calcula. Si usas una cuadrícula, conserva el tamaño de la unidad y cuenta celdas de igual área. Si el factor supera uno, piensa en copias y partes de copias: una cuadrícula limitada a una sola unidad no basta para mostrar toda la cantidad.

En el modelo puedes predecir antes de revelar el producto. Una respuesta numérica correcta es solo parte del trabajo: explica por qué la unidad y el factor elegidos corresponden a la situación.