Dividir: cuántas veces cabe y cuánto corresponde

Dividir para medir cuántas porciones caben

Dispones de tres cuartos de litro y cada porción contiene un octavo de litro. Preguntas cuántas porciones caben. Expresa ambas medidas en octavos: tres cuartos son seis octavos. Cada porción ocupa un octavo; caben seis.

La cantidad total es el dividendo, el tamaño de la porción es el divisor y el número de porciones es el cociente. Aquí dividimos litros entre litros por porción; la respuesta cuenta porciones. Dibujar saltos de un octavo sobre una recta permite ver las seis porciones.

Cuando no cabe un número entero de porciones

Con siete octavos de litro y vasos de un cuarto de litro, cada vaso contiene dos octavos. Tres vasos usan seis octavos; queda un octavo, suficiente para medio vaso:

• Vasos equivalentes: tres y medio. Describe la capacidad total en unidades de vaso.
• Vasos completos: tres. La última mitad no cuenta como vaso lleno.
• Sobrante: un octavo de litro. No es medio litro; es la mitad de un vaso de un cuarto de litro.

Si quisieras contener toda la bebida, necesitarías cuatro vasos disponibles y el último quedaría a la mitad. «Vasos completos que puedo llenar» y «vasos que necesito» son preguntas diferentes. Suponemos que no hay derrames.

Dividir para encontrar cuánto corresponde a una unidad

También puedes conocer una cantidad para parte de una receta y buscar cuánto corresponde a la receta completa. Si dos tercios de receta requieren medio kilogramo, cada tercio requiere un cuarto de kilogramo. Tres tercios requieren tres cuartos de kilogramo:

El cociente es la cantidad por receta completa. Comprueba: dos tercios de tres cuartos de kilogramo dan medio kilogramo. La división no siempre pregunta cuántos recipientes se llenan; interpreta qué representa el divisor en cada situación.

Por qué se multiplica por el recíproco

Para calcular tres cuartos entre dos tercios, buscamos qué número multiplicado por dos tercios produce tres cuartos. El recíproco de dos tercios es tres medios, porque su producto vale uno.

Multiplicar dividendo y divisor por el mismo número distinto de cero conserva el cociente. Usa tres medios para convertir el divisor en uno:

Así, dividir por dos tercios equivale a multiplicar por tres medios. Se invierte el divisor. Puedes entender la conservación del cociente como un cambio de escala: duplicar tanto la cantidad total como el tamaño de cada porción no cambia cuántas porciones caben.

Comprueba con la operación inversa

Después de dividir, multiplica el cociente por el divisor. Debes recuperar el dividendo:

Si hubieras invertido tres cuartos por error y calculado cuatro tercios por dos tercios, obtendrías ocho novenos. Al multiplicarlo por dos tercios saldrían dieciséis veintisieteavos, no tres cuartos. La comprobación detecta ese error.

Para dividir mixtos, conviértelos primero a fracciones impropias. Por ejemplo, un entero y medio entre tres cuartos equivale a:

Dividir no siempre disminuye

En una unidad caben dos mitades:

Para un dividendo positivo, dividir por un número entre 0 y 1 da un cociente numéricamente mayor; dividir por 1 lo conserva; dividir por un número mayor que 1 lo reduce. Esto describe números. En un problema, el cociente puede tener un significado distinto: dos vasos no son una cantidad de litros mayor que uno.

La estimación ayuda: si divides cinco sextos entre cinco doceavos, el divisor es la mitad del dividendo. El cociente debe ser dos, como confirma el cálculo.

Cero como dividendo y como divisor

Cero dividido por una cantidad positiva da cero: no hay porciones que formar. Por ejemplo:

No se divide entre cero. Tres cuartos entre cero exigiría un número que al multiplicarse por cero produjera tres cuartos, y no existe. Cero entre cero tampoco define un cociente único: cualquier número multiplicado por cero da cero.

El cero no tiene recíproco. El modelo mostrará esta situación sin calcular un cociente; no la interpretará como cero ni como una cantidad infinita de recipientes.

Un procedimiento completo para problemas de porciones

1. Identifica la cantidad total, el tamaño de cada porción y sus unidades.
2. Calcula el cociente exacto para conocer las porciones equivalentes.
3. Si se piden porciones completas, conserva solo la parte entera no negativa del cociente.
4. Multiplica esa cantidad entera por el tamaño de una porción para hallar lo usado.
5. Resta lo usado del total y expresa el sobrante en la unidad original.
6. Comprueba: usado más sobrante debe dar el total, y el sobrante debe ser menor que una porción.

Para cinco sextos de litro y botellas de un cuarto, el cociente es diez tercios. Se llenan tres botellas y sobra un doceavo de litro. No confundas el tercio de botella restante con un tercio de litro.