- Interpretar una solución como un valor que hace verdadera la igualdad.
- Conservar la igualdad mediante operaciones reversibles.
- Resolver ecuaciones de un paso y comprobarlas.
Antes de empezar: Operaciones con signos, fracciones y significado de expresión algebraica.
Una igualdad compara dos miembros
En , el miembro izquierdo es x + 5 y el derecho 12. Resolver significa encontrar todos los valores del dominio que hacen iguales ambos miembros. Trabajaremos en los números reales salvo que el contexto limite los valores.
x = 7 es solución porque . x = 8 no lo es: el izquierdo vale 13 y el derecho 12. El signo igual expresa una relación, no una orden de escribir cualquier resultado a continuación.
La balanza como idea de equivalencia
Si ambos miembros representan la misma cantidad, sumar o restar la misma cantidad en ambos conserva la igualdad. Para , restamos 5 en ambos: , de donde .
Decir «el cinco pasa restando» puede abreviar la escritura, pero la justificación es restar cinco a ambos lados. La balanza es una analogía; con números negativos seguimos usando las propiedades algebraicas, sin imaginar masas negativas.
Multiplicar o dividir sin perder información
Para , dividimos ambos miembros entre 3 y obtenemos . Para , multiplicamos ambos miembros por 4 y obtenemos .
El factor usado debe ser distinto de cero si queremos una transformación reversible. Multiplicar cualquier ecuación por cero produce y pierde la información sobre la incógnita. Dividir entre cero no está definido.
No cambiar un solo miembro
Si de se escribe tras quitar cinco solo a la izquierda, se obtiene otra ecuación con otra solución. Cada cambio debe conservar el conjunto solución, no solo hacer más corta la escritura.
Los pasos equivalentes pueden ser más de los necesarios. Por ejemplo, sumar 2 a ambos lados y luego restar 7 también conduce a x = 7. La eficiencia mejora con la práctica; la validez depende de aplicar bien las propiedades.
Signos y fracciones son soluciones posibles
se resuelve dividiendo entre −4: . Comprobación: . Una solución negativa no es un error por sí misma.
En , la solución exacta es . Es preferible conservar la fracción a escribir un decimal redondeado que ya no haga exacta la igualdad.
Comprobar en la ecuación de partida
Después de resolver, sustituye en la ecuación original, no solo en la última línea x = número. Evalúa por separado izquierdo y derecho y verifica que coincidan.
El modelo permite sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por una constante. Observa qué ocurre con la expresión completa y conserva un registro de cada operación. No se permite usar cero como multiplicador o divisor porque se perdería equivalencia o la operación sería indefinida.
Predice y explora
Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.
Práctica con apoyo
En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. Para un conjunto solución escribe todos los valores separados por punto y coma, por ejemplo −3;3. Si no hay soluciones escribe ninguna. No incluyas x= ni unidades en la casilla.
Comprueba qué resuelves por tu cuenta
Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.
Explícalo con tus palabras
Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.
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Consultar una clase sobre este temaAmplía la práctica: ejercicios 10–15
La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Resuelve x/2=5 y comprueba.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Multiplica ambos miembros por 2; sustituir devuelve 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Resuelve x/3=5 y comprueba.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Multiplica ambos miembros por 3; sustituir devuelve 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Resuelve x/4=5 y comprueba.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Multiplica ambos miembros por 4; sustituir devuelve 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
¿Se conserva la solución de x+2=7 al restar 2 solo del lado izquierdo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La misma operación debe aplicarse a ambos miembros para conservar una igualdad equivalente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
¿Se conserva la solución de x+3=7 al restar 3 solo del lado izquierdo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La misma operación debe aplicarse a ambos miembros para conservar una igualdad equivalente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
¿Se conserva la solución de x+4=7 al restar 4 solo del lado izquierdo?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La misma operación debe aplicarse a ambos miembros para conservar una igualdad equivalente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.