- Interpretar |a+b| ≤ |a|+|b| mediante distancia.
- Distinguir cuándo se alcanza la igualdad.
- Usar cotas sin confundirlas con valores exactos.
Antes de empezar: Valor absoluto, suma con signos y lectura de ≤.
La distancia directa no supera el recorrido
Para números reales a y b, . Si avanzas a y después b sobre una recta, la distancia final al origen no supera la distancia total recorrida.
Con a = 3 y b = −5, la posición final es −2: distancia directa 2, recorrido total 8. Se cumple . La desigualdad no afirma que ambos valores deban coincidir.
Una justificación general
Siempre se cumple y . Al sumar miembro a miembro, .
Como |a| + |b| es no negativo, esa doble cota equivale a . Así se justifica para todos los reales, no solo mediante ejemplos.
Cuándo hay igualdad
Si a y b tienen el mismo signo o alguno es cero, no hay cancelación de recorrido y . Por ejemplo, a = −2 y b = −3 dan 5 en ambos miembros.
Si ambos son no nulos y de signos opuestos, una parte se cancela y la desigualdad es estricta. El criterio de igualdad puede expresarse para números reales.
Cotas para errores acumulados
Si y , entonces . La desviación total no supera 0.5 bajo estas condiciones.
No significa que el error total sea exactamente 0.5: podría ser cero si se compensan. Sumar cotas da un límite garantizado por los datos, no una estimación estadística ni una especificación técnica externa.
De la recta al triángulo
En geometría, la distancia directa entre dos puntos no supera ir a través de un tercero. Para un triángulo no degenerado, cada lado es estrictamente menor que la suma de los otros dos.
Longitudes 2, 3 y 5 solo permitirían una figura alineada, no un triángulo de área positiva. El símbolo ≤ de la distancia general admite la igualdad; la condición de triángulo no degenerado exige <.
Una cota inferior complementaria
También se cumple . Una forma de verlo es aplicar la desigualdad triangular a : se obtiene . Intercambiar a y b da la otra dirección necesaria.
Por ejemplo, si |a| = 5 y |b| = 2, la distancia |a+b| queda entre 3 y 7. En la recta, con esos módulos exactos, se alcanzan 3 o 7 según los signos; la cota no afirma que todos los valores intermedios sean realizables.
Predice y explora
Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.
Práctica con apoyo
En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. Para conjuntos solución usa intervalos con punto y coma entre extremos, por ejemplo (−2;5]. Usa U para la unión, R para todos los reales y ninguna para vacío. No escribas la desigualdad con x en esa casilla.
Comprueba qué resuelves por tu cuenta
Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.
Explícalo con tus palabras
Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.
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